本文未完成 DNF(Do Not Finish)
零、前言
在本文最开始我要说一下，我自己本身对 \(\operatorname{TREE}\) 函数就不太了解，本文肯定是有问题的，对于 \(\operatorname{TREE}\) 函数我后面会慢慢深入了解，在本文完成之前，不要随意相信这篇所讲的东西。
\(\operatorname{TREE}\) 函数以及 \(\operatorname{tree}\) 函数、\(\operatorname{SCG}\) 函数、\(\operatorname{SSCG}\) 函数确实没有什么意义，我... 就是好奇。
中国国内对于 \(\operatorname{TREE}\) 函数这个数的资料确实有点少，我所看过的大部分文章、视频说的都是关于 \(\operatorname{TREE}\) 函数的大小。
比如 \(\operatorname{TREE}(3)\) 和葛立恒数的大小比较（虽然确实，葛立恒数在 \(\operatorname{TREE}(3)\) 面前就是个渣渣）。
但很少提到 \(\operatorname{TREE}\) 函数到底是个什么东西。
然后我就写了这篇，总结一下我所理解的 \(\operatorname{tree}\) 函数、\(\operatorname{TREE}\) 函数、\(\operatorname{SCG}\) 函数以及 \(\operatorname{SSCG}\) 函数。
说实话，这些函数实际意义暂时不大... 就是个数而已... 一个很大很大的数而已...
参考资料：
- Numberphile - The Enormous TREE(3)
- 大老李 - 画树画出一棵超大数--TREE(3)漫谈
- 大老李 - TREE(3)为什么是有限的？——克鲁斯卡尔树定理
- 百度贴吧 - 葛立恒数吧 - tree(k)、TREE(k)、SCG(k)、SSCG(k)简介
- Wikipedia - Kruskal's tree theorem
- 大老李 - 貌似无限的有限——良拟序(well quasi orders)关系
在此表示感谢。
一、TREE 函数
1. 定义
\(\operatorname{TREE}\) 是一个函数，有一个自变量 \(k\)。提出者 Harvey Friedman。
\(\operatorname{TREE}\) 函数来源于一个连续画树的游戏。
在这个游戏中，你可以使用 \(k\) 种不同颜色的笔连续画树的节点，而边的颜色我们不考虑。
当然是有规则的：
- 规则 1：画的第 \(n\) 棵树上的节点个数不能超过 \(n\)。
- 规则 2：画的第 \(n\) 棵树，前 \(n - 1\) 棵树不能“包含”在第 \(n\) 棵树里。
而 \(\operatorname{TREE}\) 函数的函数值为通过上述规则所能画出最多树的个数。
注意规则 2 的“包含”，数学中有一个名词，叫“inf-embeddable”（中文：下确界-可嵌入）。
意思就是：
我们设两棵树 \(T_1\) 和 \(T_2\)。判断 \(T_2\) “包含于” \(T_1\)：
- \(T_2\) 是 \(T_1\) 的子图。
- \(T_2\) 中取若干节点，这若干节点如果可以跟 \(T_1\) 的节点建立一一对应关系，而且两颗树中，任意对应两个节点的 最近公共祖先 是同一颜色。
完全满足上面两条中的其中一条的我们判断 \(T_2\) “包含于” \(T_1\)。
上述是我对 Numberphile 的解释的解读，结合大老李的叙述写的。
或者说“同胚镶嵌”？（我不太明白，这里放一张图）
2. TREE 函数与 tree 函数
3. TREE(1) 和 TREE(2)
我们先从人畜无害的 \(\operatorname{TREE}(1)\) 和 \(\operatorname{TREE}(2)\) 开始画树。
在 \(\operatorname{TREE}(1)\) 中，很明显我们只能画出一个根节点。所以 \(\operatorname{TREE}(1) = 1\)。
在 \(\operatorname{TREE}(2)\) 中，我们可以先画出一个根节点，假设颜色为绿色，然后我们画第二棵，为两个红色的节点连成的树，然后画第三个，一个红色的根节点。我们不能再画下去了，并且其他方法也不会大于三棵树，所以 \(\operatorname{TREE}(2) = 3\)。
4. 从 TREE(3) 到 TREE(k)
可以自己尝试。画不下去的时候要保证这是树的个数最大的方案，如果不是，可以换一种画法，直到找到最大的那种。
但是我不建议你尝试。
5. 有限的 TREE 函数
\(\operatorname{TREE}\) 函数的函数值是一个有限的树，即 \(\operatorname{TREE}\) 游戏肯定会在某一刻结束。
对于证明这个东西，需要了解 Kruskal's Tree Theorem，即 Kruskal 树定理。
二、良拟序
三、Kruskal's Tree Theorem
Kruskal 树定理。
好吧，可能是由于某些原因，我只在 Wikipedia 上面找到了这个定理的内容...
In mathematics, Kruskal's tree theorem states that the set of finite trees over a well-quasi-ordered set of labels is itself well-quasi-ordered under homeomorphic embedding. The theorem was conjectured by Andrew Vázsonyi and proved by Joseph Kruskal (1960); a short proof was given by Crispin Nash-Williams (1963). It has since become a prominent example in reverse mathematics as a statement that cannot be proved within ATR0 (a form of arithmetical transfinite recursion), and a finitary application of the theorem gives the existence of the fast-growing TREE function.
In 2004, the result was generalized from trees to graphs as the Robertson–Seymour theorem, a result that has also proved important in reverse mathematics and leads to the even-faster-growing SSCG function.
这是 Wikipedia 上对于 Kruskal 树定理的解释，没有中文翻译...
然后我自己翻译了一下：
在数学中，Kruskal 树定理指出，在同胚嵌入下，一个良拟序标签集上的有限树集本身是良拟序的。
？看不懂...