矩陣與矩陣相乘

 定義4 設A=（a_ij) 是一個m×s矩陣，B=（b_ij) 是一個s×n矩陣，那么規定矩 陣 A 與矩陣 B 的乘積是一個 m×n 矩陣 C =（c_ij），

 

並把此乘積記作 C = A B 

 

矩陣的乘法不滿足交換律，即在一般情形下，A B≠BA

矩陣的乘法雖不滿足交換律，但仍滿足下列結合律和分配律（假設運算都 是可行的）：

（i）（A B）C = A（B C）；

（ii）λ（A B）=（λA）B = A（λB）（其中λ為數）；

（iii） A（B + C）= A B +A C，（B + C）A = BA + CA 

 

對於單位矩陣 E，容易驗證 E m A m ×n = A m ×n， A m ×n E n = A m × n，

或簡寫成 E A = A E = A

 

由於矩陣乘法適合結合律，所以矩陣的冪滿足以下運算規律： A ^k A ^l = A ^k+l，（A ^k）^l = A ^kl，

矩陣乘法一般不滿足交換律，所以對於兩個 n 階矩陣 A 與 B，一般說來（A B）^k≠A ^k B ^k，只有當 A 與 B 可交換時，才有（A B）^k = A ^k B ^k

類似 可知，例如（A +B）² = A ² +2A B + B ²、（A - B）（A + B）= A ² - B ² 等公式，也只有當 A 與 B 可交換時才成立.