各向異性介質(晶體)中的電磁波傳播

• 各向異性介質：鈮酸鋰，石英，向列液晶和方解石

• 各向異性介質的電磁輻射的傳播決定與：\({D_i} = {\varepsilon _{{\rm{ij}}}}{E_j}\) (1.7-1)

  • 介電張量\({\varepsilon _{{\rm{ij}}}}\),非磁性和透明的物質，實數對稱的：\({\varepsilon _{{\rm{ij}}}} = {\varepsilon _{ji}}\) (1.7-2)
  • 位移矢量
  • 電場強度矢量

• 這九個張量的大小與x,y和z坐標，對於晶體結構的相對取向有關。通常總有可能選取下x,y,z坐標，使得矩陣非對角元素為零

  \(\varepsilon = {\varepsilon _0}\left[ {\matrix{ {{\rm{n}}_x^2} & 0 & 0 \cr 0 & {{\rm{n}}_y^2} & 0 \cr 0 & 0 & {{\rm{n}}_z^2} \cr } } \right] = \left[ {\matrix{ {{\varepsilon _x}} & 0 & 0 \cr 0 & {{\varepsilon _y}} & 0 \cr 0 & 0 & {{\varepsilon _z}} \cr } } \right]\)（1.7-3）

  • \({\varepsilon _x},{\varepsilon _y},{\varepsilon _z}\)是主介電常數，\({n _x},{n _y},{n _z}\)是主折射率，這些方向(x,y,z)被稱為晶體的主介質軸。
  • 沿z軸傳播的平面波有兩個相速度，取決於它的偏振態,一般每個傳播方向都存在兩種偏振模式
    • x軸偏振光的相速度是\(c/{n_x}\)
    • y軸偏振光的相速度是\(c/{n_y}\)

• 介質張量(介電常數)是一個電磁場頻率(或波長)的函數，這就是色散

• 光波領域中，頻率一般數量級是\({10^{14}}/s\)，經常使用折射率來描述光學介質的傳播

均勻介質中地平面波和折射率面

• 研究一般方向傳播的波，假設單色平面波

  • 電場強度矢量表示為：\(\bf{E}\exp [i(\omega t - k \cdot r)]\) (1.7-4)
  • 磁場強度矢量表示為：\(\bf{H}\exp [i(wt - k \cdot r)]\) (1.7-5)

  這里的k是波矢\(k = (\omega /c)ns\),s是波傳播方向的單位矢量。相速度\(c/n\)，或者等價為折射率是n。

• 將（1.7-4）和式（1.7-5）中的E和H分別帶入麥克斯韋方程式（1.1-1）、（1.1-2）和式（1.7-1）

  • \(\nabla \times \bf{E} + {{\partial \bf{B}} \over {\partial t}} = 0\)（1.1-1）
  • \(\nabla \times \bf{H} - {{\partial D} \over {\partial t}} = J\)（1.1-2）
  • \(\bf{D_i} = {\varepsilon _{{\rm{ij}}}}{E_j}\) (1.7-1)

  得到：

  • \(\bf{k} \times E = \omega \mu H\)（1.7-6）
  • \({\bf{k}} \times {\bf{H}} = - \omega \varepsilon {\bf{E}} = - \omega {\bf{D}}\)（1.7-7）

  消去兩個式子中的H，得到：

  • \({\bf{k}} \times \left( {{\bf{k}} \times {\bf{E}}} \right) + {\omega ^2}\mu \varepsilon {\bf{E}} = 0\) （1.7-8）
    • 此等式可以用來求出特征向量E和相應的特征值n

• 在主坐標系統中，式（1.7-3）給出的介電張量$\varepsilon $，方程式（1.7-8）可以寫成

  （1.7-9)

  • 應為存在非平庸解（非零解），式（1.7-9）中的矩陣行列式為0，這導致\(\omega\)和\(\bf{k}\)的關系如下：

    

折射率平面

• 定義：對於一個給定的\(\omega\),等式（1.7-10）表示\(\bf{k}\)空間(動量空間)的三維面

• 特點：包括兩個球殼，這兩個外殼一般有四個交點，穿過原點和這四個點的這兩條直線稱為光軸，下圖顯示這個面的八分之一。

  

• 給定傳播方向，一般有兩個k值：

  • 一個是傳播方向s的橫截面
  • 一個是折射率面

  這兩個k值對應兩個沿選定方向傳播的不同的相速度（\(\omega /k\)）

• 電場強度矢量的方向也可以從式（1.7-9）中得到，假定分母不為0，即

  （1.7-11) （各向異性介質中正交模的偏振態 矢量E的一般表達式)

  ​ 這里當\({n_0} = {n_x} = {n_y} < {n_z} = {n_e}\) ，折射率面包括一個圓和繞z軸旋轉軸對稱的橢圓

• 沿着光軸方向傳播的波，只有一個k值和一個相速度，盡管如此，卻有兩個相互獨立的偏振方向

菲涅爾方程

• 方程式（1.7-10）和方程式（1.7-11）經常用波矢的方向余弦表示，利用式（1.7-4）給出的平面波的關系\({\bf{k}} = (\omega /c)ns\)，方程式（1.7-10）和式（1.7-11）可以寫成

  \({{s_x^2} \over {{n^2} - n_x^2}} + {{s_y^2} \over {{n^2} - n_y^2}} + {{s_z^2} \over {{n^2} - n_z^2}} = {1 \over {{n^2}}}\) （1.7-12）

  \(\left[ \matrix{ {{{s_x}} \over {{n^2} - n_x^2}} \hfill \cr {{{s_y}} \over {{n^2} - n_y^2}} \hfill \cr {{{s_z}} \over {{n^2} - n_z^2}} \hfill \cr} \right]\) （1.7-13）

  • 方程式（1.7-12）稱做波的菲涅耳方程，可以用折射率的特征值解出
  • 方程式（1.7-13）給出了偏振的方向

• 分析：

  • 波的偏振（電場矢量）：方程式（1.7-12）是\(\ n^ 2\)的二次方程，因此對於每個傳播方向（\(S_ x\),\(S_ y\),\(S_ z\)），方程式（1.7-12）都有兩個關於\(n ^2\)的值，這樣就得到了這些波的偏振（電場矢量）；
  • 方程（1.7-13）中的所有元素都是實數，所以非吸收介質中的正交模式都是線性偏振的；
  • \(E _1\)和\(E _2\)是電場強度矢量，\(D _1\)和\(D _2\)是與\(n_1^2\)和\(n_2^2\)有關的線性偏振正交模式的的位移矢量
  • 麥克斯韋方程\(\nabla \cdot {\bf{D}} = 0\) 要求\(\bf{D}_1\)和\(\bf{D}_2\)與s是正交的，因為\(\bf{D}_1 \dot \bf{D}_2 = 0\)
  • D和H均垂直於傳播方向s，且能流的方向由玻印亭矢量\({\bf{E}} \times {\bf{H}}\) 得到，故其一般不與傳播方向s平行（D和E不是線性關系了！！！）
  • 因為D、E和k都垂直於H，所以它們必定共面

模的正交性（本征模）

• D、E和s共面，這些場矢量滿足下列關系：

  

• 一般電場強度矢量\(E_1\)，\(E_2\)不互相垂直，而傳播的本征模的正交關系可以寫成

  

  • 無損各向異性介質中沿傳播方向的總能流是每一模所帶能流的總和

• 對於任意傳播方向s，都存在兩個相互獨立的平面波，即線偏振傳播模

  • 這些模的相速度分別是\(\pm c/n_1\)和\(\pm c/n_2\)
  • 這里\({n_1}^2\)和\({n_2}^2\)是菲尼爾方程式的兩個解
  • 這兩個模的電場強度矢量由方程式（1.7-11）和式（1.7-13）給定

介質分類

• 折射率面包含了許多波在各向異性介質中傳播的信息，折射率面由主折射率\(n_x\)，\(n_y\)，\(n_z\)唯一確定

• 一般當這三個主折射率各不相同的時候會存在兩個光軸，這就是雙軸介質

• 在很多光電介質中（如鈮酸鋰晶體，向列相液晶）兩個軸相同，這兩種情況下，折射率面的方程（式（1.7-10）或式（1.7-12））可以根據

  

得到，這里

• 折射率面包括一個球和一個旋轉橢球，折射率面的這兩個外殼在z軸上有兩個相交點，z軸式唯一的光軸，這種介質被稱做單軸晶體

  • 對於單軸晶體，主坐標軸可以用這樣的方法表示，即三個主折射率如下排列

  

• 如果三個主折射率相同，那么折射率面的這兩個面都處於同一個圓內，這種介質就是光學各向同性介質

• 單軸介質中

  • 折射率對應於兩個相等的量\({\rm{n}}_o^2 = {\varepsilon _x}/{\varepsilon _0} = {\varepsilon _y}/{\varepsilon _0}\)，稱為尋常光折射率\(n_o\)
  • 另一個對應\({\varepsilon _z}\)的折射率叫做非尋常光折射率\(n_e\)

• 如果

  • \(n_o<n_e\),這種介質稱做正單軸晶體
  • \(n_o>n_e\),這種介質稱做負X單軸晶體

折射率橢球

• 電位移強度矢量D和空間的能流密度\(U_e\)相等的面可以表示成：

  

  • 這里\({\varepsilon _x}，{\varepsilon _y}，{\varepsilon _z}\)是主介電常數

  • 如果用r代替$D/\sqrt {2Ue} \(,主折射率表示為\)n_i^2 = {{{\varepsilon _i}} \over {{\varepsilon _o}}}(i = x,y,z)$，最后的等式可以寫成

    \({{{x^2}} \over {n_x^2}} + {{{y^2}} \over {n_y^2}} + {{{z^2}} \over {n_z^2}} = 1\)

    （當主軸平行於晶軸時，主橢球的表達式，也叫做折射率橢球，也稱做光率體）

• 折射率橢球體主要用於在晶體中尋找

  • D矢量
  • 給定傳播方向的對應兩個正交模的折射率

• 尋找方法：通過橢球的原點作一個平面與矢量s垂直，該平面與橢球的截面為一橢圓，橢圓的兩個軸長度分別對應於\(2n_1\),\(2n_2\)。

  • \(n_1\)和\(n_2\)分別時兩個正交方向上的折射率，也就是式（1.7-12）的兩個解
  • 這兩個軸分別平行於傳輸正交模的兩個D矢量