各向异性介质(晶体)中的电磁波传播

• 各向异性介质：铌酸锂，石英，向列液晶和方解石

• 各向异性介质的电磁辐射的传播决定与：\({D_i} = {\varepsilon _{{\rm{ij}}}}{E_j}\) (1.7-1)

  • 介电张量\({\varepsilon _{{\rm{ij}}}}\),非磁性和透明的物质，实数对称的：\({\varepsilon _{{\rm{ij}}}} = {\varepsilon _{ji}}\) (1.7-2)
  • 位移矢量
  • 电场强度矢量

• 这九个张量的大小与x,y和z坐标，对于晶体结构的相对取向有关。通常总有可能选取下x,y,z坐标，使得矩阵非对角元素为零

  \(\varepsilon = {\varepsilon _0}\left[ {\matrix{ {{\rm{n}}_x^2} & 0 & 0 \cr 0 & {{\rm{n}}_y^2} & 0 \cr 0 & 0 & {{\rm{n}}_z^2} \cr } } \right] = \left[ {\matrix{ {{\varepsilon _x}} & 0 & 0 \cr 0 & {{\varepsilon _y}} & 0 \cr 0 & 0 & {{\varepsilon _z}} \cr } } \right]\)（1.7-3）

  • \({\varepsilon _x},{\varepsilon _y},{\varepsilon _z}\)是主介电常数，\({n _x},{n _y},{n _z}\)是主折射率，这些方向(x,y,z)被称为晶体的主介质轴。
  • 沿z轴传播的平面波有两个相速度，取决于它的偏振态,一般每个传播方向都存在两种偏振模式
    • x轴偏振光的相速度是\(c/{n_x}\)
    • y轴偏振光的相速度是\(c/{n_y}\)

• 介质张量(介电常数)是一个电磁场频率(或波长)的函数，这就是色散

• 光波领域中，频率一般数量级是\({10^{14}}/s\)，经常使用折射率来描述光学介质的传播

均匀介质中地平面波和折射率面

• 研究一般方向传播的波，假设单色平面波

  • 电场强度矢量表示为：\(\bf{E}\exp [i(\omega t - k \cdot r)]\) (1.7-4)
  • 磁场强度矢量表示为：\(\bf{H}\exp [i(wt - k \cdot r)]\) (1.7-5)

  这里的k是波矢\(k = (\omega /c)ns\),s是波传播方向的单位矢量。相速度\(c/n\)，或者等价为折射率是n。

• 将（1.7-4）和式（1.7-5）中的E和H分别带入麦克斯韦方程式（1.1-1）、（1.1-2）和式（1.7-1）

  • \(\nabla \times \bf{E} + {{\partial \bf{B}} \over {\partial t}} = 0\)（1.1-1）
  • \(\nabla \times \bf{H} - {{\partial D} \over {\partial t}} = J\)（1.1-2）
  • \(\bf{D_i} = {\varepsilon _{{\rm{ij}}}}{E_j}\) (1.7-1)

  得到：

  • \(\bf{k} \times E = \omega \mu H\)（1.7-6）
  • \({\bf{k}} \times {\bf{H}} = - \omega \varepsilon {\bf{E}} = - \omega {\bf{D}}\)（1.7-7）

  消去两个式子中的H，得到：

  • \({\bf{k}} \times \left( {{\bf{k}} \times {\bf{E}}} \right) + {\omega ^2}\mu \varepsilon {\bf{E}} = 0\) （1.7-8）
    • 此等式可以用来求出特征向量E和相应的特征值n

• 在主坐标系统中，式（1.7-3）给出的介电张量$\varepsilon $，方程式（1.7-8）可以写成

  （1.7-9)

  • 应为存在非平庸解（非零解），式（1.7-9）中的矩阵行列式为0，这导致\(\omega\)和\(\bf{k}\)的关系如下：

    

折射率平面

• 定义：对于一个给定的\(\omega\),等式（1.7-10）表示\(\bf{k}\)空间(动量空间)的三维面

• 特点：包括两个球壳，这两个外壳一般有四个交点，穿过原点和这四个点的这两条直线称为光轴，下图显示这个面的八分之一。

  

• 给定传播方向，一般有两个k值：

  • 一个是传播方向s的横截面
  • 一个是折射率面

  这两个k值对应两个沿选定方向传播的不同的相速度（\(\omega /k\)）

• 电场强度矢量的方向也可以从式（1.7-9）中得到，假定分母不为0，即

  （1.7-11) （各向异性介质中正交模的偏振态 矢量E的一般表达式)

  ​ 这里当\({n_0} = {n_x} = {n_y} < {n_z} = {n_e}\) ，折射率面包括一个圆和绕z轴旋转轴对称的椭圆

• 沿着光轴方向传播的波，只有一个k值和一个相速度，尽管如此，却有两个相互独立的偏振方向

菲涅尔方程

• 方程式（1.7-10）和方程式（1.7-11）经常用波矢的方向余弦表示，利用式（1.7-4）给出的平面波的关系\({\bf{k}} = (\omega /c)ns\)，方程式（1.7-10）和式（1.7-11）可以写成

  \({{s_x^2} \over {{n^2} - n_x^2}} + {{s_y^2} \over {{n^2} - n_y^2}} + {{s_z^2} \over {{n^2} - n_z^2}} = {1 \over {{n^2}}}\) （1.7-12）

  \(\left[ \matrix{ {{{s_x}} \over {{n^2} - n_x^2}} \hfill \cr {{{s_y}} \over {{n^2} - n_y^2}} \hfill \cr {{{s_z}} \over {{n^2} - n_z^2}} \hfill \cr} \right]\) （1.7-13）

  • 方程式（1.7-12）称做波的菲涅耳方程，可以用折射率的特征值解出
  • 方程式（1.7-13）给出了偏振的方向

• 分析：

  • 波的偏振（电场矢量）：方程式（1.7-12）是\(\ n^ 2\)的二次方程，因此对于每个传播方向（\(S_ x\),\(S_ y\),\(S_ z\)），方程式（1.7-12）都有两个关于\(n ^2\)的值，这样就得到了这些波的偏振（电场矢量）；
  • 方程（1.7-13）中的所有元素都是实数，所以非吸收介质中的正交模式都是线性偏振的；
  • \(E _1\)和\(E _2\)是电场强度矢量，\(D _1\)和\(D _2\)是与\(n_1^2\)和\(n_2^2\)有关的线性偏振正交模式的的位移矢量
  • 麦克斯韦方程\(\nabla \cdot {\bf{D}} = 0\) 要求\(\bf{D}_1\)和\(\bf{D}_2\)与s是正交的，因为\(\bf{D}_1 \dot \bf{D}_2 = 0\)
  • D和H均垂直于传播方向s，且能流的方向由玻印亭矢量\({\bf{E}} \times {\bf{H}}\) 得到，故其一般不与传播方向s平行（D和E不是线性关系了！！！）
  • 因为D、E和k都垂直于H，所以它们必定共面

模的正交性（本征模）

• D、E和s共面，这些场矢量满足下列关系：

  

• 一般电场强度矢量\(E_1\)，\(E_2\)不互相垂直，而传播的本征模的正交关系可以写成

  

  • 无损各向异性介质中沿传播方向的总能流是每一模所带能流的总和

• 对于任意传播方向s，都存在两个相互独立的平面波，即线偏振传播模

  • 这些模的相速度分别是\(\pm c/n_1\)和\(\pm c/n_2\)
  • 这里\({n_1}^2\)和\({n_2}^2\)是菲尼尔方程式的两个解
  • 这两个模的电场强度矢量由方程式（1.7-11）和式（1.7-13）给定

介质分类

• 折射率面包含了许多波在各向异性介质中传播的信息，折射率面由主折射率\(n_x\)，\(n_y\)，\(n_z\)唯一确定

• 一般当这三个主折射率各不相同的时候会存在两个光轴，这就是双轴介质

• 在很多光电介质中（如铌酸锂晶体，向列相液晶）两个轴相同，这两种情况下，折射率面的方程（式（1.7-10）或式（1.7-12））可以根据

  

得到，这里

• 折射率面包括一个球和一个旋转椭球，折射率面的这两个外壳在z轴上有两个相交点，z轴式唯一的光轴，这种介质被称做单轴晶体

  • 对于单轴晶体，主坐标轴可以用这样的方法表示，即三个主折射率如下排列

  

• 如果三个主折射率相同，那么折射率面的这两个面都处于同一个圆内，这种介质就是光学各向同性介质

• 单轴介质中

  • 折射率对应于两个相等的量\({\rm{n}}_o^2 = {\varepsilon _x}/{\varepsilon _0} = {\varepsilon _y}/{\varepsilon _0}\)，称为寻常光折射率\(n_o\)
  • 另一个对应\({\varepsilon _z}\)的折射率叫做非寻常光折射率\(n_e\)

• 如果

  • \(n_o<n_e\),这种介质称做正单轴晶体
  • \(n_o>n_e\),这种介质称做负X单轴晶体

折射率椭球

• 电位移强度矢量D和空间的能流密度\(U_e\)相等的面可以表示成：

  

  • 这里\({\varepsilon _x}，{\varepsilon _y}，{\varepsilon _z}\)是主介电常数

  • 如果用r代替$D/\sqrt {2Ue} \(,主折射率表示为\)n_i^2 = {{{\varepsilon _i}} \over {{\varepsilon _o}}}(i = x,y,z)$，最后的等式可以写成

    \({{{x^2}} \over {n_x^2}} + {{{y^2}} \over {n_y^2}} + {{{z^2}} \over {n_z^2}} = 1\)

    （当主轴平行于晶轴时，主椭球的表达式，也叫做折射率椭球，也称做光率体）

• 折射率椭球体主要用于在晶体中寻找

  • D矢量
  • 给定传播方向的对应两个正交模的折射率

• 寻找方法：通过椭球的原点作一个平面与矢量s垂直，该平面与椭球的截面为一椭圆，椭圆的两个轴长度分别对应于\(2n_1\),\(2n_2\)。

  • \(n_1\)和\(n_2\)分别时两个正交方向上的折射率，也就是式（1.7-12）的两个解
  • 这两个轴分别平行于传输正交模的两个D矢量