Leetcode 458. 可憐的小豬 （思維或者信息熵）

Leetcode 458. 可憐的小豬

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題意
有 buckets 桶液體，其中 正好 有一桶含有毒葯，其余裝的都是水。它們從外觀看起來都一樣。為了弄清楚哪只水桶含有毒葯，你可以喂一些豬喝，通過觀察豬是否會死進行判斷。不幸的是，你只有 minutesToTest 分鍾時間來確定哪桶液體是有毒的。

喂豬的規則如下：

選擇若干活豬進行喂養
可以允許小豬同時飲用任意數量的桶中的水，並且該過程不需要時間。
小豬喝完水后，必須有 minutesToDie 分鍾的冷卻時間。在這段時間里，你只能觀察，而不允許繼續喂豬。
過了 minutesToDie 分鍾后，所有喝到毒葯的豬都會死去，其他所有豬都會活下來。
重復這一過程，直到時間用完。
給你桶的數目 buckets ，minutesToDie 和 minutesToTest ，返回在規定時間內判斷哪個桶有毒所需的 最小 豬數。

示例 1：

輸入：buckets = 1000, minutesToDie = 15, minutesToTest = 60
輸出：5
示例 2：

輸入：buckets = 4, minutesToDie = 15, minutesToTest = 15
輸出：2
示例 3：

輸入：buckets = 4, minutesToDie = 15, minutesToTest = 30
輸出：2

提示：

1 <= buckets <= 1000
1 <= minutesToDie <= minutesToTest <= 100

算法

方法1：思維

先考慮二維的情況，假如有25個罐子

	15分鍾死	30分鍾死	45分鍾死	60分鍾死	60分鍾活
15分鍾死	0	1	2	3	4
30分鍾死	5	6	7	8	9
45分鍾死	10	11	12	13	14
60分鍾死	15	16	17	18	19
60分鍾活	20	21	22	23	24

第一只去尋找列坐標，第二只去尋找行坐標。
第一只喝下在0分鍾喝下第一列的水（會在15分鍾后得到結果），15分鍾喝下第二列的水，30分鍾喝下第三列的水，45分鍾喝下第四列的水，進行k=4輪，總共有看k+ 1 = 5種狀態，那便可以確定一列。

那么同理，利用第二只豬可以確定行數。
那么同理，如果有三只豬，就可以確定三維的情況了。

\(((k + 1) ^ {res}) >= n => res >= \frac{\log _{2} n}{\log _{2}(k+1)}\)

方法2：香農熵

利用香農熵，代表信息量的大小，我們可以計算明確熵值，公式為:

\[H(X)=-\sum_{x} P(x) \log _{2}[P(x)] \]

其中 \(P(x)\) 代表隨機事件 \(x\) 的發生概率。
對於本題，記隨機事件 \(A\) 為 \(n\) 桶水中哪一個桶有問題，概率為 \(\frac{1}{n}\) 。

\(n\)桶水中有一桶水有問題香農熵（信息量）H(A)：

\[H(A) = -\sum_{\text {i }=1}^{n} \frac{1}{n} \log _{2} \frac{1}{n} = -\left(\log _{2} \frac{1}{n}\right) \]

記隨機事件 \(B\) 為在測試輪數為 \(k\) 時，所有實驗對象的最終狀 態，每個實驗對象的狀態共有 \(k+1\) 種，即共有 \(C=(k+1)^{m}\) 種最終結果，可近似看做等概率 \(\frac{1}{C}\) 。
我們需要求得在滿足 \(H(A)<=H(B)\) 前提下的最小 \(m\) 值。 代入公式可得:

\[-\left(\log _{2} \frac{1}{n}\right)<=-\sum_{\text {result }=0}^{(k+1)^{m}} \frac{1}{(k+1)^{m}} \log _{2} \frac{1}{(k+1)^{m}}=m \log _{2}(k+1) \]

移項化簡得:

\[\frac{\log _{2} n}{\log _{2}(k+1)}<=m \]

class Solution {
public:
    int poorPigs(int buckets, int minutesToDie, int minutesToTest) {
        return ceil(log(buckets) / log(minutesToTest / minutesToDie + 1));
    }
};