【NOIP2021 數列】題解

題目鏈接

首先dp得從低位向高位枚舉，因為高位無論如果使用 \(2^{a_i}\) 都對低位二進制1的個數無影響，滿足dp的無后效性。

設 \(dp(k, i, x, y)\) 為 \(S\) 從低的高二進制的前 \(k\) 位中，用了數列 \(a\) 的前 \(i\) 項，且此時 \(S\) 中共有 \(x\) 個二進制位為1，第 \(i+1\) 位進了 \(y\) 過去。

則：

\[dp(k, i, x, y)=\sum_{j=0}^{n-i}dp(k+1, i+j, x+(y+j\&1),y+j>>1)\times C_{i+j}^j\times v_k^j \]

假設這一位有 \(j\) 個 \(a_j\) 滿足 \(a_j=k\)，則下一位就有 \(i+j\) 個 \(a\) 的元素確定，如果這一位是1，則 \(x+1\)，在轉移中的 \(x+(y+j\&1)\) 體現。而進位到下一位的就是 \(y+j>>1\) 了。

對於每種方案，其對於答案的貢獻為 \(v_k^j\)，而方案相當於在 \(i+j\) 個數中插 \(j\) 塊板，即 \(C_{i+j}^j\)。

建議用記憶化搜索實現。

Code

// Problem: P7961 [NOIP2021] 數列【民間數據】
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P7961
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
#define mo 998244353
#define N 40
#define M 110
int n, m, i, j, k; 
int c[M][M], s[M][M]; 
int f[M][N][N][N], v[M], K; 

int count(int x)
{
	int ans=0; 
	while(x) x-=x&-x, ++ans; 
	return ans; 
}

int dfs(int k, int u, int x, int y)
{
	if(u==n)
	{
		// printf("> f[%lld][%lld][%lld][%lld]=%lld\n", k, u, x, y, x+count(y)<=K);
		if(x+count(y)>K) return 0; 
		// printf("----------"); 
		return 1; 
	}
	if(k>m) return 0; 
	if(f[k][u][x][y]!=-1) return f[k][u][x][y]; 
	int ans=0;  
	for(int i=0; i<=n-u; ++i)
	{
		ans=(ans+dfs(k+1, u+i, x+((y+i)&1), (y+i)>>1)
						*s[k][i]%mo*c[u+i][i]%mo)%mo; 
		// printf("%lld %lld\n", s[k][i], c[n-u][i]); 
	}
	f[k][u][x][y]=ans; 
	// printf("f[%lld][%lld][%lld][%lld]=%lld\n", k, u, x, y, f[k][u][x][y]); 
	return f[k][u][x][y]; 
}


signed main()
{
//	freopen("tiaoshi.in","r",stdin);
//	freopen("tiaoshi.out","w",stdout); 
	memset(f, -1, sizeof(f)); 
	n=read(); m=read(); K=read(); 
	for(i=0; i<=m; ++i) v[i]=read(); 
	c[0][0]=1; 
	for(i=1; i<=n; ++i)
		for(j=c[i][0]=1; j<=i; ++j) 
			c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mo; 
	for(i=0; i<=m; ++i)
	{
		s[i][0]=1; 
		for(j=1; j<=n; ++j) s[i][j]=(s[i][j-1]*v[i])%mo; 
	}
	printf("%lld\n", dfs(0, 0, 0, 0)); 
	return 0;
}