1、Ring定義
R是一個含有兩種復合運算+、*的集合，若滿足
（1）（R，+）是一個交換群
（2）*運算滿足結合律。且R中含有一個乘法運算的單位元e
（3）滿足分配律 a*（b+c）=a*b+a*c，（a+b）*c=a*c+b*c
R被稱為一個環，乘法部分滿足交換律的環被稱為交換環。
2、把Z和nZ看作兩個群，那么Z/nZ就是一個商群。i={i+kn|k∈Z}，這個集合為mod意義下的整合。零元和單位元分別是0和1。
3、整數環：在交換環的基礎上，並滿足沒有零因子(如此，集合內任意兩個元素乘積均不等於0)。他的單位元1，-1。
4、子環：如果對於一個 R 的子集合 S ，有e∈S，並且 S 本身對於 +-* 封閉，則 S 稱為 R 的一個子環。比如說z（+，-，*）就是R（+，-，*）的一個子環。
Z[X]----->Z/nZ[X]就是一個環同態，其映射的意義就是把整數多項式環的系數模n，得到模多項式環。
5、域：在環的基礎上，如果對於每一個環的非零元素 a ，都存在一個元素 b ，使得 ab=ba=e ，則稱這個環為一個域。
6、商環：R/I={a+I | a∈R}