第五章 解析函數的洛朗展式與孤立奇點

在前一章我們已經看出，用泰勒級數來表示圓形區域內的解析函數是很方便的.但是對於有些特殊函數，如貝塞爾（Bessel）函數，以圓心為奇點，就不能在奇點鄰域內表成泰勒級數.為此，本章將建立（挖去奇點a的）圓環r<|z-a|<R（r≥0，R≤+0，，當r=0時為去心圓0<|z-a|<R）內解析函數的級數表示，並以它為工具去研究解析函數在孤立奇點鄰域內的性質.

1.解析函數的洛朗展式

1.雙邊冪級數

考慮兩個級數

\[\begin{array}{c} c_{0}+c_{1}(z-a)+c_{2}(z-a)^{2}+\cdots \\ \frac{c_{-1}}{z-a}+\frac{c_{-2}}{(z-a)^{2}}+\cdots \end{array}\]

前者是冪級數，故它在收斂圓|z-a|<R（0<R≤+o）內表一解析函數 f（z）.對第二個級數作代換
\(\zeta=\frac{1}{z-a}\)
則它成為一個冪級數

\[c_{-1} \zeta+c_{-2} \zeta^{2}+\cdots \cdot \cdot \]

設它的收斂區域為\(|ξ|<\frac{1}{r}\left(0<\frac{1}{r} \leqslant+\infty\right)\). 換回到原來的變數z，即知（5.2）在\(|z-a|>r（0≤r< + \infty）\)內表一解析函數f（z）.
當且僅當r<R時，（5.1）及（5.2）有公共的收斂區域即圓環H∶r<|z-a|<R.這時，我們稱級數（5.1）與（5.2）之和為雙邊冪級數.可以表為

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}\tag{5.3} \]

由以上討論及定理4.10和定理4.13得

定理5.1

設雙邊冪級數（5.3）的收斂圓環為\(H: r<|z-a|<R(r \geqslant 0, R \leqslant+\infty)\)
則（1）（5.3）在 H內絕對收斂且內閉一致收斂於

\[f(z)=f_1(z)+f_2(z) \]

（2）函數f（z）在 H內解析.
（3）函數 \(f（x）=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}\)
在H內可逐項求導p次（p=1，2，3...)
（4）函數 f（z）可沿 H內曲線C逐項積分. 注 定理5.1對應於定理4.13.

2.解析函數的洛朗展式

前面指出了雙邊冪級數在其收斂圓環內表一解析函數，反過來有

定理5.2（洛朗定理）

在圓環\(H∶r<|z-a|<R（r≥0，R ≤＋\infty)\)內解析的函數 f（z）必可展成雙邊冪級數

\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}\tag{5.4} \]

其中

\[c_{n}=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{\Gamma} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}} \mathrm{~d} \zeta \quad(n=0, \pm 1, \cdots)\tag{5.5} \]

\(\Gamma \text { 為圓周 }|\zeta-a|=\rho(r<\rho<R)\),並且展式是惟一的（即f（z）及圓環 H惟一地決定了系數\(c_n\)）.

定義5.1

（5.4）稱為函數 f（z）在點 a的洛朗展式，（5.5）稱為其洛朗系數，而（5.4）等號右邊的級數則稱為洛朗級數.

證明了洛朗展式的惟一性后，我們就可以采用一些常用的更簡便的方法去求一些初等函數在指定圓環內的洛朗展開式（如例5.1至例5.5），只有在個別的情況下，才直接采用公式（5.5）求洛朗系數的方法（如例5.6）.

3.洛朗級數與泰勒級數的關系

當已給函數f(z)在點a處解析時，中心在 a，半徑等於由 a到函數f（z）的最近奇點的距離的那個圓可以看成圓環的特殊情形，在其中就可作出洛朗級數展開式.根據柯西積分定理，由公式（5.5）可以看出，這個展式的所有系數\(c_n（n=1，2，，…）\)都等於零.在此情形下，計算洛朗級數的系數公式與泰勒級數的系數公式（積分形式）無異，所以洛朗級數就轉化為泰勒級數.因此，泰勒級數是洛朗級數的特殊情形.

4.解析函數在孤立奇點鄰域內的洛朗展

定義5.2

如果函數 f（z）在點 a的某一去心鄰域\(K-\{a\}:0<|z-a|<R\)（即除去圓心a的某圓）內解析，點a是f（z）的奇點（見定義2.3），則稱 a為f（z）的一個孤立奇點.

注 因函數f(z)在\(K-\{a\}\)內是單值的，故也稱 a 為 f（z）的單值性孤立奇點;如以后遇到 f（z）在\(K-\{a\}\)內是多值的，則稱a 為f（z）的多值性孤立奇點，即支點（由於在支點的鄰域內函數能由一支變到另一支，故函數在支點鄰域內缺少單值性.因而它以最簡單的方式破壞了函數的解析性.因此支點也是函數的奇點）.以后如無特別聲明，提到孤立奇點總指單值性孤立奇點.當然，以后也會遇到非孤立奇點.
如果 a為函數f（z）的一個孤立奇點，則必存在正數 R，使得f（z）在點 a的去心鄰域\(K-\{a\}:0<|z-a|<R\)內可展成洛朗級數.

§2.解析函數的孤立奇點

孤立奇點是解析函數的奇點中最簡單最重要的一種類型.以解析函數的洛朗展式為工具，我們能夠在孤立奇點的去心鄰域內充分研究一個解析函數的性質.

1.孤立奇點的三種類型

已經說過，如 a 為函數 f（z）的孤立奇點，則 f（x）在 a點的某去心鄰域K-{a}內可以展成洛朗級數

\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n} \]

我們稱非負冪部分\(\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}\)為f（z）在點 a 的正則部分。而稱負冪部分\(\sum_{n=1}^{\infty}c_{-n}(z-a)^{-n}\)為f(z)在點a的主要部分。這是因為實際上非負冪部分表示在點a的鄰域K:|z-a|<R的解析函數，故函數f(z)在點a的奇異性質完全體現在洛朗級數的負冪部分上。

定義5.3

設 a為函數f（z）的孤立奇點.
（1）如果 f（z）在點 a的主要部分為零，則稱a為f（z）的可去奇點（見例5.3）.
（2）如果 f（z）在點 a的主要部分為有限多項，設為

\[\frac{c_{-m}}{(z-a)^{m}}+\frac{c_{-(m-1)}}{(z-a)^{m-1}}+\cdots+\frac{c_{-1}}{z-a}\left(c_{-m} \neq 0\right) \]

則稱a為f（z）的 m 階極點（見例5.2）.一階極點也稱為單極點.
（3）如果 f（z）在點 a的主要部分有無限多項，則稱 a為f（z）的本質奇點（見例5.4及例5.5）.
以下我們分別討論三類孤立奇點的特征.

2.可去奇點

如果 a為函數 f（z）的可去奇點，則有

\[f(z)=c_{0}+c_{1}(z-a)+c_{2}(z-a)^{2}+\cdots(0<|z-a|<R) \]

上式等號右邊表圓K∶|z-a|<R 內的解析函數.如果命\(f（a）=c_0\)，則f（z）在圓 K 內與一個解析函數重合.也就是說，我們將f（z）在點a 的值加以適當定義，則點 a就是f（z）的解析點.這就是我們稱 a為f（z）的可去奇點的由來.
例如，當我們約定\(\frac {sinz} z|_{z=0}=1\)時，\(\frac {sinz} z\)就在z=0解析了。

定理5.3

如果 a為函數f（z）的孤立奇點，則下列三條是等價的.因此，它們中的任何一條都是可去奇點的特征.
（1）f（z）在點 a的主要部分為零;
(2)\(\lim_{z→a} f(z)=b(≠\infty);\)
（3）f（z）在點a的某去心鄰域內有界.

3.施瓦茨（Schwarz）引理

如果函數 f（z）在單位圓|z|<1 之內解析，並且滿足條件

\[f(0)=0,If(z)|<1(|z|<1) \]

, 則在單位圓|z|<1內恆有
\(|f(z)|≤|z|\), 且有\(|f(0)'|≤1\).
如果上式等號成立，或在圓|z|<1內一點 \(z_0≠0\)處前一式符號成立，則（當且僅當）

\[f(z)=e^{i\alpha}z,(|z|<1), \]

其中\(\alpha\)為一實常數.
從幾何上看，施瓦茨引理表明∶任一解析變換 \(\omega=f（z）\)，f（0）=0，當它把單位圓變到一個單位圓內的區域 \(△\)上去時，圓內任一點z≠0的像都比 z 本身距坐標原點為近.而如果有一個點的像與這個點本身距坐標原點有相同距離的話，則\(△\)就與單位圓相同，變換就僅僅是一個旋轉（圖5.3）.

注 施瓦茨引理有如下一個簡單改進;
我們保留假設條件不變.如果原點是函數 f（z）的 λ階零點，就可以考慮函數∶\(\frac{f(z)}{z^\lambda}\),與剛才的情形一樣，我們由此可以得到

\[|f(z)|\le|z|^{\lambda} \]

並且只有當\(f(z)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha} z^{\lambda}\)（a為實數）時，等號才成立。這樣，在這個特殊情形之下，函數的模就有了一個比前面公式中更小的界限.

4.極點

定理5.4

如果函數 f（z）以點 a為孤立奇點，則下列三條是等價的.因此，它們中的任何一條都是 m階極點的特征.
（1）f（z）在點 a的主要部分為

\[\frac{c_{-m}}{(z-a)^{m}}+\cdots+\frac{c_{-1}}{z-a}\left(c_{-m} \neq 0\right) \]

（2）f（z）在點 a的某去心鄰域內能表成

\[f(z)=\frac{\lambda(z)}{(z-a)^{m}}\tag{5.11} \]

其中λ（z）在點a鄰域內解析，且λ（a）≠0;
(3)\(g(z)=\frac 1 {f(z)}\)以點 a為m 階零點（可去奇點要當作解析點看，只要令g（a）=0）.
注 第（3）條表明∶
f(z)以點a為m階極點\(\Leftrightarrow\)\(\frac 1 {f（z）}\)以點a為m 階零點

定理5.5

函數 f（z）的孤立奇點 a為極點的充要條件是

\[lim_{z\rightarrow a}f(z)=\infty \]

5.本質奇點

定理5.6 函數 f（z）的孤立奇點 a為本質奇點的充要條件是

\[\lim _{z \rightarrow a} f(z) \neq\left\{\begin{array}{l} b(\text { 有限數 }) \\ \infty \end{array}\right.\]

即\(\lim f_{z\rightarrow a}（z）\)不存在.
這可由定理5.3.之（2）及定理5.5得到證明.

定理5.7

若z=a為函數f（z）之一本質奇點，且在點 a的充分小去心鄰域內不為零，則z=a 亦必為
\(\frac 1 {f(z)}\)的本質奇點.