多元統計分析05：多元正態分布的假設檢驗(1)

目錄

• Chapter 5：多元正態分布的假設檢驗(1)
  • 一、單個總體均值向量的檢驗
    • Part 1：協方差陣已知的均值向量的檢驗
    • Part 2：協方差陣未知的均值向量的檢驗
  • 二、均值向量的區間估計
    • Part 1：均值向量的置信域
    • Part 2：均值向量的聯立置信區間
    • Part 3：均值向量的最大置信區間
    • Part 4：均值向量的聯合置信區間
  • 三、兩個總體均值向量的檢驗
    • Part 1：協方差陣相等且已知的檢驗
    • Part 2：協方差陣相等但未知的檢驗
    • Part 3：協方差陣不等但已知的檢驗
    • Part 4：協方差陣不等且未知的檢驗
  • 四、均值向量線性約束假設的檢驗
    • Part 1：線性約束假設問題
    • Part 2：均值向量的球性檢驗

Chapter 5：多元正態分布的假設檢驗(1)

一、單個總體均值向量的檢驗

Part 1：協方差陣已知的均值向量的檢驗

設 \(X_{(\alpha)},\,\alpha=1,2,\cdots,n\) 為多元正態總體 \(X\sim N_p\left(\mu,\Sigma\right)\) 的獨立同分布的樣本，其中 \(\Sigma>0\) 已知，考慮以下檢驗問題

\[H_0:\mu=\mu_0 \quad \longleftrightarrow \quad H_1:\mu\neq\mu_0 \ . \]

方法一：檢驗統計量

構造檢驗統計量

\[K^2=n\left(\bar{X}-\mu_0\right)'\Sigma^{-1}\left(\bar{X}-\mu_0\right)\stackrel{H_0}{\sim}\chi^2(p) \ . \]

對於給定的顯著性水平 \(\alpha\) ，檢驗的拒絕域為

\[W=\left\{K^2>\chi^2_{\alpha}(p)\right\} \ . \]

方法二：似然比檢驗

寫出樣本的聯合密度函數

\[L(\mu)=\frac{1}{(2\pi)^{np/2}\left|\Sigma\right|^{n/2}}\exp\left\{-\frac12{\rm tr}\left(\Sigma^{-1}A\right)-\frac12n\left(\bar{X}-\mu\right)'\Sigma^{-1}\left(\bar{X}-\mu\right)\right\} \ . \]

在 \(H_1\) 和 \(H_0\) 假設下的極大似然分別為

\[\begin{aligned} &\max_{\mu\in\mathbb{R}^p}\,L(\mu)=L\left(\bar{X}\right)=\frac{1}{(2\pi)^{np/2}\left|\Sigma\right|^{n/2}}\exp\left\{-\frac12{\rm tr}\left(\Sigma^{-1}A\right)\right\} \ , \\ \\ &\max_{\mu=\mu_0}\,L(\mu)=L(\mu_0)=\frac{1}{(2\pi)^{np/2}\left|\Sigma\right|^{n/2}}\exp\left\{-\frac12{\rm tr}\left(\Sigma^{-1}A\right)-\frac n2\left(\bar{X}-\mu_0\right)'\Sigma^{-1}\left(\bar{X}-\mu_0\right)\right\} \ . \end{aligned} \]

構造似然比統計量為

\[\lambda=\exp\left\{-\frac n2\left(\bar{X}-\mu_0\right)'\Sigma^{-1}\left(\bar{X}-\mu_0\right)\right\} \ . \]

當樣本容量 \(n\) 很大時，

\[-2\ln\lambda=n\left(\bar{X}-\mu_0\right)'\Sigma^{-1}\left(\bar{X}-\mu_0\right)\sim\chi^2(p) \ . \]

對於給定的顯著性水平 \(\alpha\) ，檢驗的拒絕域為

\[W=\left\{-2\ln\lambda>\chi^2_\alpha(p)\right\} \ . \]

可以發現，這里的似然比檢驗與構造檢驗統計量的結果一致。

Part 2：協方差陣未知的均值向量的檢驗

設 \(X_{(\alpha)},\,\alpha=1,2,\cdots,n\) 為多元正態總體 \(X\sim N_p\left(\mu,\Sigma\right)\) 的獨立同分布的樣本，\(\mu\) 和 \(\Sigma\) 未知，\(\Sigma>0\)，考慮以下檢驗問題

\[H_0:\mu=\mu_0 \quad \longleftrightarrow \quad H_1:\mu\neq\mu_0 \ . \]

方法一：檢驗統計量

構造檢驗統計量

\[\begin{aligned} &T^2=n(n-1)\left(\bar{X}-\mu_0\right)'A^{-1}\left(\bar{X}-\mu_0\right)\stackrel{H_0}{\sim} T^2(p,n-1) \ , \\ \\ &F=\frac{(n-1)-p+1}{(n-1)p}T^2\stackrel{H_0}{\sim} F(p,n-p) \ . \end{aligned} \]

對於給定的顯著性水平 \(\alpha\) ，檢驗的拒絕域為

\[W=\left\{F>F_{\alpha}(p,n-p)\right\} \ . \]

方法二：似然比檢驗

寫出樣本的聯合密度函數

\[L(\mu,\Sigma)=\frac{1}{(2\pi)^{np/2}\left|\Sigma\right|^{n/2}}\exp\left\{-\frac12{\rm tr}\left(\Sigma^{-1}A\right)-\frac12n\left(\bar{X}-\mu\right)'\Sigma^{-1}\left(\bar{X}-\mu\right)\right\} \ . \]

此時的參數空間為

\[\Theta=\left\{(\mu,\Sigma):\mu\in\mathbb{R}^p,\,\Sigma>0\right\} \ , \quad \Theta_0=\left\{(\mu,\Sigma):\mu=\mu_0,\,\Sigma>0\right\} \]

在 \(H_1\) 假設下的極大似然為

\[\max_{(\mu,\Sigma)\in\Theta}L(\mu,\Sigma)=L\left(\bar{X},\frac1nA\right)=(2\pi)^{-np/2}\left|\frac1nA\right|^{-n/2}\exp\left\{-\frac{np}{2}\right\} \ . \]

在 \(H_0\) 假設下的極大似然為

\[\max_{(\mu,\Sigma)\in\Theta_0}L(\mu,\Sigma)=L\left(\mu_0,\frac1nA_0\right)=(2\pi)^{-np/2}\left|\frac1nA_0\right|^{-n/2}\exp\left\{-\frac{np}{2}\right\} \ . \]

其中

\[A_0=\sum_{i=1}^n\left(X_{(i)}-\mu_0\right)\left(X_{(i)}-\mu_0\right)'=A+n\left(\bar{X}-\mu_0\right)\left(\bar{X}-\mu_0\right)' \ . \]

構造似然比統計量為

\[\lambda=\frac{|A|^{n/2}}{|A_0|^{n/2}}=\frac{|A|^{n/2}}{\left|A+n\left(\bar{X}-\mu_0\right)\left(\bar{X}-\mu_0\right)'\right|^{n/2}}=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n-1}T^2}\right)^{n/2} \ . \]

由於 \(\lambda\) 為 \(T^2\) 的嚴格單調遞減函數，故這里的似然比檢驗等價於 \(T^2\) 統計量檢驗，即

\[T^2=n(n-1)\left(\bar{X}-\mu_0\right)'A^{-1}\left(\bar{X}-\mu_0\right)\stackrel{H_0}{\sim} T^2(p,n-1) \ . \]

然后構造 \(F\) 統計量並求出拒絕域即可。

二、均值向量的區間估計

Part 1：均值向量的置信域

多元統計中的置信域是對一元統計中的置信區間的推廣，和我們后面討論的聯立置信區間在概念上有一點點區別。

考慮單正態總體檢驗的 \(T^2\) 統計量：

\[T^2=n(n-1)\left(\bar{X}-\mu\right)'A^{-1}\left(\bar{X}-\mu\right)\sim T^2(p,n-1) \ , \]

以及相應的 \(F\) 統計量：

\[F=\frac{n-p}{(n-1)p}T^2\sim F(p,n-p) \ , \]

則有均值向量 \(\mu\) 的置信度為 \(1-\alpha\) 的置信域為

\[n(n-1)\left(\bar{X}-\mu\right)'A^{-1}\left(\bar{X}-\mu\right)\leq\frac{(n-1)p}{n-p}F_{\alpha}(p,n-p) \ , \]

該置信域是一個以 \(\bar{X}\) 為中心的橢球：

\[\left(\bar{X}-\mu\right)'A^{-1}\left(\bar{X}-\mu\right)\leq\frac{p}{n(n-p)}F_{\alpha}(p,n-p) \ . \]

Part 2：均值向量的聯立置信區間

這里我們主要考慮 \(\mu\) 的線性組合 \(a'\mu\) 的置信區間，這里 \(a\) 是一個 \(p\) 維的非零常數向量，所以 \(\mu\) 的聯立置信區間，其上限和下限都是與 \(a\) 有關的。

若 \(\Sigma\) 已知，采用正態區間，取樞軸量為

\[Z=\frac{a'\left(\bar{X}-\mu\right)}{\sqrt{a'\Sigma a/n}}\sim N(0,1) \ . \]

所以 \(a'\mu\) 的置信度為 \(1-\alpha\) 的置信區間為

\[a'\bar{X}-z_{\alpha/2}\sqrt{a'\Sigma a/n}\leq a'\mu\leq a'\bar{X}+z_{\alpha/2}\sqrt{a'\Sigma a/n} \ . \]

若 \(\Sigma\) 未知，采用 \(t\) 區間，取樞軸量為

\[T=\frac{a'\left(\bar{X}-\mu\right)}{\sqrt{a'S a/n}}=\frac{a'\left(\bar{X}-\mu\right)}{\sqrt{a'\Sigma a/n}}\bigg/\sqrt{\frac{a'Aa}{a'\Sigma a}\bigg/(n-1)}\sim t(n-1) \ . \]

所以 \(a'\mu\) 的置信度為 \(1-\alpha\) 的置信區間為

\[a'\bar{X}-t_{\alpha/2}(n-1)\sqrt{a'Sa/n}\leq a'\mu\leq a'\bar{X}+t_{\alpha/2}(n-1)\sqrt{a'Sa/n} \ . \]

對於以上兩種情況，如果取 \(a=e_i=\left(0,\cdots,1,\cdots,0\right)'\) ，即取 \(e_i\) 為第 \(i\) 個分量為 \(1\) 而其余均為 \(0\) 的向量，則可以得到均值向量 \(\mu\) 的第 \(i\) 個分量 \(\mu_i\) 的置信度為 \(1-\alpha\) 的置信區間，不妨設為 \(D_i\) 。通過選擇不同的常數向量 \(a\) ，便可得到 \(\mu\) 的所有分量的置信度為 \(1-\alpha\) 的置信區間。需要注意，此時總的置信區間為一個立方體 \(D_1\times D_2\times \cdots\times D_p\) ，但總的置信度比 \(1-\alpha\) 小。

Part 3：均值向量的最大置信區間

這里我們還是考慮 \(\mu\) 的線性組合 \(a'\mu\) 的置信區間，但如果使用如上所述的一元數理統計方法，得到的並不是最大的置信區間。下面我們主要考慮協方差陣 \(\Sigma\) 未知的情況。

取樞軸量的平方

\[t^2=\left(\frac{a'\left(\bar{X}-\mu\right)}{\sqrt{a'S a/n}}\right)^2=\frac{a'\left(\bar{X}-\mu\right)\left(\bar{X}-\mu\right)'a}{a'Sa/n} \ . \]

由二次型的極值性質可知，當 \(a\) 與 \(S^{-1}\left(\bar{X}-\mu\right)\) 成比例時，該樞軸量的平方達到最大值，即

\[\max_{a\neq0}\,t^2=n\left(\bar{X}-\mu\right)'S^{-1}\left(\bar{X}-\mu\right)=T^2 \ . \]

對於任意的 \(a\neq0\) 都有

\[P\left(\frac{n-p}{(n-1)p}t^2\leq F_\alpha(p,n-p)\right)\geq P\left(\frac{n-p}{(n-1)p}T^2\leq F_\alpha(p,n-p)\right)=1-\alpha \ , \]

所以 \(a'\mu\) 的置信度為 \(1-\alpha\) 的最大置信區間為

\[a'\bar{X}-c\sqrt{a'Sa/n}\leq a'\mu\leq a'\bar{X}+c\sqrt{a'Sa/n} \ ,\quad \text{where }\ c=\sqrt{\frac{(n-1)p}{n-p}F_{\alpha}(p,n-p)} \ . \]

事實上，Hotelling \(T^2\) 統計量找到了某個向量 \(a\) ，是的均值向量投影在該方向上具有最大的置信區間。也就是說，對於一組樣本，如果它的 Hotelling \(T^2\) 統計量沒有落入置信區間，那么其余所有 \(a'\mu\) 都不會落入其對應的置信區間。

類似地，如果取 \(a=e_i=\left(0,\cdots,1,\cdots,0\right)'\) ，則可以得到 \(\mu_i\) 的置信度為 \(1-\alpha\) 的最大置信區間

\[\bar{X}_i-c\sqrt{\frac{S_{ii}}{n}}\leq\mu_i\leq\bar{X}_i+c\sqrt{\frac{S_{ii}}{n}} \ , \]

其中 \(S_{ii}\) 為 \(S\) 的第 \(i\) 個對角線元素，但此時總的置信度仍然比 \(1-\alpha\) 小。

Part 4：均值向量的聯合置信區間

聯合置信區間直接考慮 \(\mu\) 的每個分量 \(\mu_i\) 的置信區間，通過直積得到總的置信區間，並且要求總的置信度等於 \(1-\alpha\) 。這里我們需要對 \(\mu_i\) 設置一個較大的置信區間 \(1-\alpha_i\) 。記

\[D_i=\left(\bar{X}_i-c_i\sqrt{\frac{S_{ii}}{n}}\leq\mu_i\leq\bar{X}_i+c_i\sqrt{\frac{S_{ii}}{n}}\right) \ ,\quad \text{where }\ c_i=\sqrt{\frac{(n-1)p}{n-p}F_{\alpha_i}(p,n-p)} \ , \]

則有 \(P\left(D_i\right)=1-\alpha_i\) 。如果進一步滿足

\[P(D_1\times D_2\times\cdots\times D_p)=1-\alpha \ , \]

則稱 \(D_1\times D_2\times\cdots\times D_p\) 為均值向量 \(\mu\) 在置信度為 \(1-\alpha\) 下的聯合置信區間。

一般地，我們常取 \(\alpha_i=\alpha/p\) ，即有 \(P(D_i)=1-\alpha/p\) 。

三、兩個總體均值向量的檢驗

Part 1：協方差陣相等且已知的檢驗

設 \(X_{(\alpha)},\,\alpha=1,2,\cdots,n\) 和 \(Y_{(\alpha)},\,\alpha=1,2,\cdots,m\) 分別為多元正態總體 \(X\sim N_p\left(\mu_1,\Sigma\right)\) 和 \(Y\sim N_p\left(\mu_2,\Sigma\right)\) 的獨立同分布的樣本，其中 \(\Sigma>0\) 已知，考慮以下檢驗問題

\[H_0:\mu_1=\mu_2 \quad \longleftrightarrow H_1:\mu_1\neq\mu_2 \ . \]

構造檢驗統計量

\[K^2=\frac{nm}{n+m}\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)'\Sigma^{-1}\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)\stackrel{H_0}{\sim}\chi^2(p) \ . \]

對於給定的顯著性水平 \(\alpha\) ，檢驗的拒絕域為

\[W=\left\{K^2>\chi^2_{\alpha}(p)\right\} \ . \]

檢驗統計量的分布證明如下：

\[\bar{X}\sim N_p\left(\mu_1,\frac{\Sigma}{n}\right) \ , \quad \bar{Y}\sim N_p\left(\mu_2,\frac{\Sigma}{m}\right) \ . \]

在 \(H_0\) 假設下有

\[\bar{X}-\bar{Y}\sim N_p\left(0,\frac{\Sigma}{n}+\frac{\Sigma}{m}\right) \ . \]

所以有

\[Z=\Sigma^{-1/2}\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\cfrac1n+\cfrac1m}}\sim N_p\left(0,I_p\right) \ . \]

構造檢驗統計量

\[K^2=Z'Z=\left(\frac{nm}{n+m}\right)\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)'\Sigma^{-1}\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)\sim\chi^2(p) \ . \]

Part 2：協方差陣相等但未知的檢驗

設 \(X_{(\alpha)},\,\alpha=1,2,\cdots,n\) 和 \(Y_{(\alpha)},\,\alpha=1,2,\cdots,m\) 分別為多元正態總體 \(X\sim N_p\left(\mu_1,\Sigma\right)\) 和 \(Y\sim N_p\left(\mu_2,\Sigma\right)\) 的獨立同分布的樣本，其中 \(\Sigma>0\) 但未知，考慮以下檢驗問題

\[H_0:\mu_1=\mu_2 \quad \longleftrightarrow \quad H_1:\mu_1\neq\mu_2 \ . \]

構造檢驗統計量

\[T^2=\frac{nm}{n+m}\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)'\left(\frac{A_1+A_2}{n+m-2}\right)^{-1}\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)\stackrel{H_0}{\sim}T^2(p,n+m-2) \ . \]

其中 \(A_1\) 和 \(A_2\) 是兩總體的樣本離差陣，構造 \(F\) 統計量

\[F=\frac{(n+m-2)-p+1}{(n+m-2)p}T^2\sim F(p,n+m-p-1) \ , \]

對於給定的顯著性水平 \(\alpha\) ，檢驗的拒絕域為

\[W=\left\{F>F_\alpha(p,n+m-p-1)\right\} \ . \]

檢驗統計量的分布證明如下：

\[\bar{X}\sim N_p\left(\mu_1,\frac{\Sigma}{n}\right) \ , \quad \bar{Y}\sim N_p\left(\mu_2,\frac{\Sigma}{m}\right) \ . \]

在 \(H_0\) 假設下有

\[\sqrt{\frac{mn}{m+n}}\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)\sim N_p\left(0,\Sigma\right) \ . \]

又因為

\[A_1=\sum_{\alpha=1}^n\left(X_{(\alpha)}-\bar{X}\right)\left(X_{(\alpha)}-\bar{X}\right)'\sim W_p(n-1,\Sigma) \ , \\ A_2=\sum_{\alpha=1}^m\left(Y_{(\alpha)}-\bar{Y}\right)\left(Y_{(\alpha)}-\bar{Y}\right)'\sim W_p(m-1,\Sigma) \ , \]

且 \(A_1\) 與 \(A_2\) 相互獨立，所以有

\[A_1+A_2\sim W_p\left(n+m-2,\Sigma\right) \ . \]

構造檢驗統計量

\[\begin{aligned} T^2&=(n+m-2)\left[\sqrt{\frac{mn}{m+n}}\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)\right]'\left(A_1+A_2\right)^{-1}\left[\sqrt{\frac{mn}{m+n}}\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)\right] \\ \\ &=\frac{nm}{n+m}\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)'\left(\frac{A_1+A_2}{n+m-2}\right)^{-1}\left(\bar{X}-\bar{Y}\right) \\ \\ &\sim T^2(p,n+m-2)\ . \end{aligned} \]

Part 3：協方差陣不等但已知的檢驗

設 \(X_{(\alpha)},\,\alpha=1,2,\cdots,n\) 和 \(Y_{(\alpha)},\,\alpha=1,2,\cdots,m\) 分別為多元正態總體 \(X\sim N_p\left(\mu_1,\Sigma_1\right)\) 和 \(Y\sim N_p\left(\mu_2,\Sigma_2\right)\) 的獨立同分布的樣本，其中 \(\Sigma_1>0,\,\Sigma_2>0\) 且已知，考慮以下檢驗問題

\[H_0:\mu_1=\mu_2 \quad \longleftrightarrow\quad H_1:\mu_1\neq\mu_2 \ . \]

構造檢驗統計量

\[K^2=\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)'\left(\frac{\Sigma_1}{n}+\frac{\Sigma_2}{m}\right)^{-1}\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)\stackrel{H_0}{\sim}\chi^2(p) \]

對於給定的顯著性水平 \(\alpha\) ，檢驗的拒絕域為

\[W=\left\{K^2>\chi^2_{\alpha}(p)\right\} \ . \]

檢驗統計量的分布證明如下：

\[\sqrt{n}\left(\bar{X}-\mu_1\right)\sim N_p\left(0,\Sigma_1\right) \ , \quad \sqrt{m}\left(\bar{Y}-\mu_2\right)\sim N_p\left(0,\Sigma_2\right) \ . \]

在 \(H_0\) 假設下有

\[\bar{X}-\bar{Y}\sim N_p\left(0,\frac{\Sigma_1}{n}+\frac{\Sigma_2}{m}\right) \ . \]

所以有

\[Z=\left(\frac{\Sigma_1}{n}+\frac{\Sigma_2}{m}\right)^{-1/2}\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)\sim N_p\left(0,I_p\right) \ . \]

構造檢驗統計量

\[K^2=Z'Z=\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)'\left(\frac{\Sigma_1}{n}+\frac{\Sigma_2}{m}\right)^{-1}\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)\sim\chi^2(p) \ . \]

Part 4：協方差陣不等且未知的檢驗

我們只考慮樣本容量相等的情況。若樣本容量不相等，這類問題的檢驗統計量沒有小樣本分布，故在此不進行討論。

設 \(X_{(\alpha)},Y_{(\alpha)},\,\alpha=1,2,\cdots,n\) 分別為多元正態總體 \(X\sim N_p\left(\mu_1,\Sigma_1\right)\) 和 \(Y\sim N_p\left(\mu_2,\Sigma_2\right)\) 的獨立同分布的樣本，其中 \(\Sigma_1>0,\,\Sigma_2>0\) 但均未知，考慮以下檢驗問題

\[H_0:\mu_1=\mu_2 \quad \longleftrightarrow\quad H_1:\mu_1\neq\mu_2 \ . \]

令 \(Z_{(i)}=X_{(i)}-Y_{(i)},\,i=1,2,\cdots,n\) ，將問題轉化為單個總體的均值向量假設檢驗問題

\[H_0:\mu_Z=0_p \quad \longleftrightarrow \quad H_1:\mu_Z\neq0_p \ . \]

構造 \(T^2\) 統計量和相應的 \(F\) 統計量即可。注意，這里 \(X\) 和 \(Y\) 相互獨立的信息沒有利用。

檢驗統計量的分布證明如下：

\[Z=X-Y\sim N_p\left(\mu_1-\mu_2,\Sigma_1+\Sigma_2\right) \ . \]

在 \(H_0\) 假設下有

\[\bar{Z}\sim N_p\left(0,\frac{1}{n}\left(\Sigma_1+\Sigma_2\right)\right) \ . \]

后面按照協方差陣未知的均值向量的檢驗進行即可。

四、均值向量線性約束假設的檢驗

Part 1：線性約束假設問題

設 \(X_{(\alpha)},\,\alpha=1,2,\cdots,n\) 為多元正態總體 \(X\sim N_p\left(\mu,\Sigma\right)\) 的獨立同分布的樣本，設 \(H_0:R\mu=r\) 為一個線性約束，其中 \(R,r\) 為已知的矩陣和向量，且 \(R\) 是 \(q\times p\) 的滿秩矩陣，下面對 \(H_0\) 進行假設檢驗。

如果 \(\Sigma\) 已知，則有

\[R\bar{X}\sim N_q\left(R\mu,\frac1nR\Sigma R'\right) \ . \]

故構造檢驗統計量

\[K^2=n\left(R\bar{X}-r\right)'\left(R\Sigma R'\right)^{-1}\left(R\bar{X}-r\right)\stackrel{H_0}{\sim}\chi^2(q) \ . \]

如果 \(\Sigma\) 未知，則有

\[RAR'\sim W_q\left(n-1,R\Sigma R'\right) \ . \]

故構造檢驗統計量

\[T^2=n(n-1)\left(R\bar{X}-r\right)'\left(RAR'\right)^{-1}\left(R\bar{X}-r\right)\stackrel{H_0}{\sim} T^2(q,n-1) \ . \]

對應的 \(F\) 統計量為

\[F=\frac{(n-1)-q+1}{(n-1)q}T^2\stackrel{H_0}{\sim} F(q,n-q) \ . \]

可以證明，利用似然比檢驗會得到和上述檢驗統計量相同的結果。

Part 2：均值向量的球性檢驗

這是線性約束假設問題的一個應用。設 \(X_{(\alpha)},\,\alpha=1,2,\cdots,n\) 為多元正態總體 \(X\sim N_p\left(\mu,\Sigma\right)\) 的獨立同分布的樣本，球型檢驗指的是檢驗 \(H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_p\) 和 \(H_1:\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_p\) 至少有一對不相等。

將原假設表示為線性約束

\[H_0:C\mu=0 \ , \quad \text{where }\ C=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ 1 & 0 & 0 &\cdots & -1 \end{bmatrix}_{(p-1)\times p} \]

構造檢驗統計量

\[T^2=n(n-1)\left(C\bar{X}\right)'\left(CAC'\right)^{-1}\left(C\bar{X}\right)\stackrel{H_0}{\sim} T^2(p-1,n-1) \ . \]

對應的 \(F\) 統計量為

\[F=\frac{(n-1)-(p-1)+1}{(n-1)(p-1)}T^2\stackrel{H_0}{\sim}F(p-1,n-p+1) \ . \]