布於 2021-09-06 23:42
寫在前面
我的好朋友們，大家好哎~ 好久沒有更新啦，所以今天xia寫一些東西，談一下自己對集合的認識，代表我還在呢！^-^ 反正最近就是去外邊干項目了，又學了一堆奇奇怪怪的知識，也發生了許多神奇的事情~~~
摘要: 本文的相關內容主要取自本學年開設的泛函分析課程，對集合的勢理論做了深入的分析與思考，其中還涉及了映射關系、集合勢的意義、無窮大與阿列夫數以及一些看起來的悖論命題等部分。
1引言
初次接觸泛函分析，心里還是懷着激動的心情，畢竟幾年都沒有接觸數學方面的知識，對於這門課在自己后面的科研學習中到底有多大的作用，暫時我還不能得知，但隱隱約約感到這一門課程將會影響我的數學思維，給我帶來潛移默化的影響。相信大多數人對於數學的直觀感受就是晦澀難懂，尤其是像泛函分析這種純理論推理證明的課程，有這些感受我認為是很正常的，至少當初自己也是這么認為的，但總的來講正是有了這些高度抽象的理論，才讓我們發現了宇宙的奧妙以及事物的本質，比如海王星的發現，光的波粒二象性等等，無不涉及數學。而相比數學中的那些定理公式，我更喜歡那些定理公式后有趣的數學故事，比如像希爾伯特的"旅館"、牛頓的"蘋果"等，因為每一個故事背后都蘊含着深刻的理論，通過這些故事更能深入地理解那些理論，也會使得數學顯得不在那么枯燥乏味，尤其是像泛函分析這類純理論推理證明的課程。說是應用泛函分析課程，倒不如說是預備知識課程，因為學習泛函分析需要掌握眾多的基礎理論知識，像集合、映射、勢、測度以及距離空間等一系類的預備知識。本來打算要寫對測度理論的理解與分析，由於測度自己學的還不夠深入，想了想還是寫寫自己比較感興趣的集合這個專題，本文將主要圍繞集合的勢進行展開，分享一下自己的所學所想。
2集合里的映射關系
映射作為集合中常見的一種對應關系，算是比較重要的概念。映射關系在日常生活當中，也是非常的普遍，比如在一定年齡段，你的身高總是與體重呈現某種關系，這是一種簡單的映射。在數學當中，函數作為一種常見的映射，相信你已經再熟悉不過了，對於一元連續函數，每一個自變量值都對應着因變量值；而對於一個雙曲線函數，往往一個自變量值有可能對應着兩個因變量值；不管是一元函數還是雙曲線函數等等，這里的自變量為因變量在函數關系下的原像，而因變量稱為自變量在函數關系下的像，而這個函數就稱之為自變量到因變量的一種映射關系。由於映射關系的不同，所以出現了幾類常見的映射關系，有雙射、單射以及滿射等等。在談論這幾種映射關系之前，我想先來闡述一下集合的定義，先來看書中的定義是，把具有某種特定性質的具體的或抽象的對象的全體稱作集合，這顯然很難去理解。根據朴素集合論的定義，只要滿足兩個條件：一是所有滿足條件的元素都在集合內，二是集合里的所有元素都滿足條件，這似乎看起來就沒有那么抽象了，但這么簡單的定義肯定會出問題的。在課程學習中老師曾給出這樣的集合： 集合 那么， 是否成立，我們來思考一下，假設 ，那么顯然滿足“ ”的條件，所以 ；再做另外一種假設 ，那么集合內的元素應該滿足“ ”的條件，所以 ，這個問題被稱之為羅素悖論，查閱相關資料顯示羅素悖論引發了第三次數學危機，至今還仍未完全化解，現在做的最好的就是 公理系統加上選擇公理稱之為 公理系統。
有了集合的初步概念，再進一步來看那幾種映射，我畫了幾幅圖以來清楚地表示這幾種關系，如圖1所示。好了，闡述了一些基礎理論，做好鋪墊之后，接下來開始討論一些有關集合勢理論的話題，也是本次寫作的重心。
3集合勢理論
要說理解“勢”，我們先從字面意思看起，“勢”在漢語中意思是形勢、勢力，代表的是一種范圍大小，所以說集合的勢也必定是用來表征集合大小的東西。眾所周知，關於事物的多與少是很普通的概念，例如吃飯的時候，假如有人問：桌子上放的碗的個數與吃飯的人數哪個多？這個問題其實很簡單，只要規定每個人可拿一個碗且最多只能拿一個碗，最后，如果有人沒有拿到碗，那么便是人數多於碗的數目；如果桌子上的碗有剩余，說明人數少於碗的數目；再如果是每個人都拿到了碗且桌子上沒有剩余的碗，那就說明人數與碗的數目一樣多。在這個問題當中，我們無形之中就運用了集合勢的理論，正因為有了勢的概念，才使得比較有了實際的意義,下面來看一些具體的實例。對於有限集，比如 ,要比較這兩個集合的大小，那實在太容易了，集合 有 個元素，稱集合 的計數為 ；同理集合 的計數為 。在本門課程中有這樣的規定，有限集的勢為集合的計數，所以對於上面這個例子，集合 的勢就為 ，記作 ，同樣集合 的勢為 ，記作 ，因為 ，所以集合 的元素比集合 多。
有限集的對立面自然就是無限集，所有不是有限集的集合就是無限集，無限集是存在的，例如自然數全體 ；在這里需要補充一下，什么是對等？對等就是 、 兩個集合存在一個 到 的一一對應關系，就表明 與 對等，記作 。剛才提到的自然數全體 ，其實能和它的真子集 (偶數全體)對等，這里做以簡單的闡釋，感覺還是很有意思的： 存在一種映射 滿足條件 ,使集合 與 一一對應，所以 ,故兩集合的勢相等，說明“正偶數和正整數一樣多”，但這看起來似乎是個悖論，感覺自然數顯然要比偶自然數要多一倍，這也是數學有意思的地方，為了更嚴謹的表達，我覺得稱兩集合的勢一樣大會更好一些。通常凡是與自然數 對等的集合稱為可列集，可列集是最小的無限集，因為無限集必與它的一個真子集對等，所以任何無限集必含有一可列子集，可列集的勢記為“ ”（讀作“阿列夫零”）。
4無窮大與阿列夫數
"無窮”這一概念，可能在我們很小的時候，就有自己獨立的見解。比如當被人問我們要多少糖時，我們可能總要說很多很多，這個“很多很多”其實並沒有一個實際的量化值，總之非常的大，而像這樣，沒有極限，沒有止境，也沒有終點，正是“無窮”的概念。讀過一本叫做《從一到無窮大》的書，從微觀世界過渡到宏觀宇宙，正是詮釋了從無窮小到無窮大的內涵，因為“無窮”是世間的本質特征，有時可能真的是“只可意會不可言傳”。當初次接觸“無窮”的時候，有時可能很容易將自己繞進去，就比如上一節所提到的正自然數與正偶自然數的問題，從整體上來看，我們運用“無窮”的思維會發現，兩者是一樣多的，因為他們都有“無窮”多個元素，但是又仔細一想，明顯自然數要比偶自然數多一半，這顯然是相悖的，這也就是為什么要引入集合勢概念的理由。 考慮上一節所提到的阿里夫數，會自然的想到這與無窮大有什么關系呢？看起來兩個都很大，剛接觸時可能會認為 是無窮大， 是更大的無窮大，沒錯當初我也是這么認為的。但隨着課程進一步的學習，我發現兩者的概念其實並沒有太大的交集，因為無窮大是為了描述一個要多大有多大的數，而阿列夫數描述的則是無限集的勢的大小。總的來講，無窮大描述的是“大”，而阿列夫數描述的是“多”，兩者並不能同日而語。5一些表面看似悖論的命題
要說明以下這些集合兩兩之間等勢，只需要在兩者之間找到一個一一對應的關系即可，由於這是一篇關於集合勢理論的思考寫作，我就也沒必要去將嚴格的證明列在這里，只是想以課程學習到的推理思維做以簡單分析。5.1 整數集 與有理數集 的勢等同
眾所周知，一個有理數 可寫成一個分數 ，其中 均為整數，並規定 ,通過改變記號，將分數 與平面上的點 對應起來；由於， 的全體均是可列的，因此平面上的點 的全體也是可列集，所以兩者的勢自然相同的。5.2 全體實數集與 的勢等同
對於這個問題，我們很容易可以找到一個映射，作 到 的映射 ， ，顯然這是 到 的一一對應，所以全體實數集的勢也為 。5.3 直線上的點集與平面上的點集勢等同
這個問題其實是很不直觀的，我們可以想象一條直線上的點集怎么會和平面上的點一樣多呢，但事實往往和我們想象的不大一樣。數學存在的意義，有時並不是那么明顯，不像物理世界實實在在的東西，你可能一時半會也看不到立竿見影的效果，但這恰恰才是數學的魅力之所在。 對於這個問題，我們可以先將直線點集雙射於 ，平面點集雙射於 ，下來任取一個數 ，然后取 的奇數位上的數拼成： ,偶數位上的數拼成： ，將其分別賦值給 ，得到 ，以此類推，這樣就形成了一個一一映射，則兩集合對等，即勢也一樣大。5.4 希爾伯特的“旅館”
在泛函分析課程學習當中，有這樣一個故事，我覺得很有意思，這恰好就是一個集合之間對等的問題。其中故事是這樣描述的：在一個擁有“無窮”個單人間的旅館，里面住滿了“無窮”多個客人，這時又來了“無窮”多個新客人要求住店，這時旅館可以讓現有住在房間 的客人搬進房間 ，也就是說讓 號房的房客搬進 號房，讓 號房的人搬進 號房，以此類推，這樣奇數號房就都被騰出來了，因為奇自然數集與自然數集是等勢的，所以被騰出來的奇數號房間是可以供給“無窮”多個新房客入住，想想還真是不可思議，這要是放在現實生活中，顯然是無法實現的。6結語
不知不覺也寫了這么多內容了，這次主要將泛函分析課程中涉及的有關集合的內容作了一些報告，針對集合勢理論作了相關的分析和思考，但其中也包含了自己對映射、集合的大小、無窮的概念以及一些看似悖論的命題等要點的理解。其次課程中涉及的測度、距離空間等概念也非常令我着迷，因為這些對我來講都是全新的，那總是會充滿期待的。此外，在這里需要說明的是，這次寫作的語氣還是比較接地氣的，因為我覺得既然是對某個話題的分析與思考，也沒有必要那么正式，那樣會顯得有些僵硬更不好去表達自己的見解。最后我想說的是，通過本次的分析與思考，雖然這門課程有一大堆定理推理證明有許多自己還未真正的掌握，但是每一次的推理證明過程，都讓我有一種耳目一新的感覺，能收獲許多的數學方面考慮問題的思維，我想這也是這門課程最大的收獲。課程的學習讓我認識到了又一個全新的數學世界，不在僅僅局限於當初中學乃至本科所接觸的數學空間。
7參考文獻
[1] 薛小平，張國敬等. 應用泛函分析[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2012.[2] 夏道行等. 實變函數論與泛函分析(上冊)[M]. 北京：高等教育出版社，2010.