計算機 - 存儲數值 - 補碼 （two's complement representation）
計算機中的有符號數有三種表示方法，即原碼、反碼和補碼。三種表示方法均有符號位和數值位兩部分，符號位都是用0表示“正”，用1表示“負”，而數值位，三種表示方法各不相同 。
在計算機系統中，數值一律用補碼來表示和存儲。原因在於，使用補碼，可以將符號位和數值域統一處理；同時，加法和減法也可以統一處理 。
1、概念引入
在介紹補碼概念之前，先介紹一下“模”的概念：“模”是指一個計量系統的計數范圍，如過去計量糧食用的斗、時鍾等。計算機也可以看成一個計量機器，因為計算機的字長是定長的，即存儲和處理的位數是有限的，因此它也有一個計量范圍，即都存在一個“模”。如：時鍾的計量范圍是0~11，模=12。表示n位的計算機計量范圍是，模=．“模”實質上是計量器產生“溢出”的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的余數。任何有模的計量器，均可化減法為加法運算 。
就是取反后加1。
假設當前時針指向8點，而准確時間是6點，調整時間可有以下兩種撥法：一種是倒撥2小時，即8-2=6；另一種是順撥10小時，8+10=12+6=6，即8-2=8+10=8+12-2(mod 12)．在12為模的系統里，加10和減2效果是一樣的，因此凡是減2運算，都可以用加10來代替。若用一般公式可表示為：a-b=a-b+mod=a+mod-b。對“模”而言，2和10互為補數。實際上，以12為模的系統中，11和1，8和4，9和3，7和5，6和6都有這個特性，共同的特點是兩者相加等於模。對於計算機，其概念和方法完全一樣。n位計算機，設n=8，所能表示的最大數是11111111，若再加1成100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丟失（相當於丟失一個模）。又回到了 00000000，所以8位二進制系統的模為。在這樣的系統中減法問題也可以化成加法問題，只需把減數用相應的補數表示就可以了。把補數用到計算機對數的處理上，就是補碼 。
2、性質
以補碼定義式為基礎，沿數軸列出典型的真值、原碼與補碼表示，可清楚了解補碼的有關性質 。
(1)在補碼表示中，最高位(符號位)表示數的正負，在形式上與原碼相同，即 0正 1負。但補碼的符號位是數值的一部分，由補碼定義式計算而得。例如，負小數補碼中為 1，這個 1是真值(負)加模 2后產生 。
真值，原碼和補碼的關系
(2)在補碼表示中，數 0只有一種表示，[+0]補 =[-0]補 =0.000……0 [3] ．
(3)負數補碼表示的范圍比原碼稍寬，多一種數碼組合。對於定點數，若為純小數，表示范圍為：，若為純整數，表示范圍為：。
3、原碼求補碼
求給定數值的補碼分以下兩種情況：
3.1 正數
正整數的補碼是其二進制表示，與原碼相同 。
例：+9的補碼是00001001。（備注：這個+9的補碼是用8位2進制來表示的，補碼表示方式很多，還有16位二進制補碼表示形式，以及32位二進制補碼表示形式，64位進制補碼表示形式等。每一種補碼表示形式都只能表示有限的數字。）
3.2 負數
求負整數的補碼，將其原碼除符號位外的所有位取反（0變1，1變0，符號位為1不變）后加1 [4] 。
同一個數字在不同的補碼表示形式中是不同的。比如-15的補碼，在8位二進制中是11110001，然而在16位二進制補碼表示中，就是1111111111110001。以下都使用8位2進制來表示。
例：求-5的補碼。
-5對應帶符號位負數5（10000101）→除符號位外所有位取反（11111010）→加 00000001為 (11111011)
所以-5的補碼是11111011。
3.3 0的補碼
數0的補碼表示是唯一的 。
[+0]補=[+0]反=[+0]原=00000000
[ -0]補=11111111+1=00000000
4、補碼求原碼
已知一個數的補碼，求原碼的操作其實就是對該補碼再求補碼 ：
⑴如果補碼的符號位為“0”，表示是一個正數，其原碼就是補碼。
⑵如果補碼的符號位為“1”，表示是一個負數，那么求給定的這個補碼的補碼就是要求的原碼。
例：已知一個補碼為11111001，則原碼是10000111（-7）。
解：因為符號位為“1”，表示是一個負數，所以該位不變，仍為“1”。
其余七位1111001取反后為0000110；再加1，所以是10000111。
5、意義
補碼“模”概念的引入、負數補碼的實質、以及補碼和真值之間的關系所揭示的補碼符號位所具有的數學特征，無不體現了補碼在計算機中表示數值型數據的優勢，和原碼、反碼等相比可表現在如下方面 [3] ：
- (1)解決了符號的表示的問題 ；
- (2)可以將減法運算轉化為補碼的加法運算來實現，克服了原碼加減法運算繁雜的弊端，可有效簡化運算器的設計 [3] ；
- (3)在計算機中，利用電子器件的特點實現補碼和真值、原碼之間的相互轉換，非常容易 [3] ；
- (4)補碼表示統一了符號位和數值位，使得符號位可以和數值位一起直接參與運算，這也為后面設計乘法器除法器等運算器件提供了極大的方便。
總之，補碼概念的引入和當時運算器設計的背景不無關系，從設計者角度，既要考慮表示的數的類型(小數、整數、實數和復數)、數值范圍和精確度，又要考慮數據存儲和處理所需要的硬件代價。因此，使用補碼來表示機器數並得到廣泛的應用，也就不難理解了。
創建時間：2021.10.29 更新時間：