有關於級數的一些話

級數是個什么東西

在說道:"級數是個什么東西"之前，先要肯定"數列是個什么東西"是不言而喻的。作為研究數與數之間在連續層面上依賴關系的函數的姊妹，數列研究數與數之間在離散層面上的依賴關系。
在對於極限概念的探討上，函數有微積分，數列有級數。所謂"從此到彼，所歷之和"在函數中指的是積分，在數列中指的就是部分和數列。按照這個思路，由一個函數可以催生一個新的函數，數列同理。
數列的和應該對標的是函數中的無窮積分。兩者的判斂法也是高度重合的。不過，因為不離散，無窮積分中沒有比值判斂法和根值判斂法。

什么叫函數項級數

假定函數的本質是一個映射：
那么，函數項級數\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n,x)\)是一個由x\(\rightarrow\)\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n)\)的映射。即由自變量向一個數項級數的映射。所對應的級數收斂的自變量為收斂點，發散的自變量為發散點，收斂點的集合構成收斂域。在收斂域上，每一個自變量所對應的級數都是收斂的，即這些自變量都對應着一個自己的和。如此，便構築起了一個由自變量\(\rightarrow\)和的映射，將這個映射稱之為和函數。

當形式為\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n\)時，稱之為冪級數。稱\(a_n\)為系數。對其收斂域有Abel阿貝爾定理，延伸出收斂半徑R及收斂區間。

\[\rho=\begin{cases}\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\\\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{a_{n}}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\rho=0,R=+\infty\\\rho=+\infty,R=0\\0<\rho<+\infty,R=\frac{1}{\rho}\end{cases} \]

當用如上方法難以求解，可以嘗試使用換元法，或者對\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_n=a_nx^n\)使用數項級數的比值法進行求解。

和函數的求解

已知一個函數項級數對應一個和函數，那么這樣的轉化是如何進行的呢？實際上，這是一個非構造性的過程。

首先，我們的確有一些范本，用以進行最基礎的求解:

\[1.\quad\sum_{0}^{+\infty}x^{an}=\frac{1}{1-x^a}\\ 2.\quad\sum_{10}^{+\infty}x^{an}=\frac{x^a}{1-x^a} \]

不過，當然不能直接使用范本的情況是更多的。這是就要想辦法去套用范本。要套用，就要改變形式。如何改變形式？

注釋：用\(S(x)\)來表示和函數，用\(\sum_{n=1}^{+\infty}f(n,x)\)來表示函數項級數。

1. 湊配法：在方程兩邊同時乘除一個式子。
2. 積分法：\(S'(x)=[\sum_{n=1}^{+\infty}f(n,x)]'=\sum_{n=1}^{+\infty}f'(n,x)\)
3. 求導法：\(\int_{0}^{x}S(x)=\int_{0}^{x}[\sum_{n=1}^{+\infty}f(n,x)]=\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{0}^{x}[f(n,x)]\)

函數與級數的關系

如果提到要在函數和級數之間建立一種映射，或許還要提到上面所說的和函數。已知存在函數項級數有自己唯一對應的和函數，那么可以建立一個函數項級數\(\rightarrow\)和函數的映射，那么有反映射:函數\(\rightarrow\)級數。稱由一個函數得到對應級數的過程為展開成級數。

相對於求解一個函數項級數的和函數這樣的一個非構造性問題，函數的展開更像是一個構造性問題。

graph TB a[展開成級數]==>tl[泰勒級數] a==>b[傅里葉級數] b-->c[以2π為周期的周期函數] b-->d[以2i為周期的周期函數] style a fill:#e44800,stroke:#333,stroke-width:1px; style b fill:#ffaa5d,stroke:#333,stroke-width:1px; style tl fill:#ffaa5d,stroke:#333,stroke-width:1px; style c fill:#f0e1b0,stroke:#333,stroke-width:1px; style d fill:#f0e1b0,stroke:#333,stroke-width:1px;

展開成泰勒級數

准許條件是在展開點有無窮階微分。對符合條件的函數施以泰勒公式，則得泰勒級數

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \]

特殊的，當\(x_0\)取0，稱之為麥克勞林級數，化簡后形式為

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{ f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]

下面列舉一下比較常見的泰勒級數展開：

函數|級數|范圍
|:-😐:-😐:-😐:-😐:-
\(sinx\) | \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) | \(-\infty<x<\infty\)
\(cosx\) | \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\) |\(-\infty<x<\infty\)
\(arctanx\) | \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\) |\(\| x\|<1\)
\(e^x\) | \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\)| \(-\infty<x<\infty\)
\(\frac{1}{1-x}\) | \(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\) | \(\|x\|<1\)
\(\frac{1}{1+x}\) | \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n\) | \(\|x\|<1\)
\(ln(1+x)\)|\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(-1<x\le1\)

展開成傅里葉級數

准許條件是該函數具有周期性。假定一個復合條件的函數周期為\(2i\)。

\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\\ \begin{cases}a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\\b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\end{cases} \]

到這里，已經為傅里葉級數創造了一個最基礎的范本。在這之下，還有許多變數。詳見下圖

graph TB a[傅里葉級數]==>tl[按奇偶性區分] tl-->tl1[正弦級數] tl-->tl2[余弦級數] a==>b[按周期區分] b-->c[以2π為周期的函數] b-->d[以2i為周期的函數] style a fill:#647256,stroke:#333,stroke-width:1px; style b fill:#9da46e,stroke:#333,stroke-width:1px; style tl fill:#9da46e,stroke:#333,stroke-width:1px; style c fill:#63bf8e,stroke:#333,stroke-width:1px; style d fill:#63bf8e,stroke:#333,stroke-width:1px; style tl1 fill:#63bf8e,stroke:#333,stroke-width:1px; style tl2 fill:#63bf8e,stroke:#333,stroke-width:1px;

在上面范本的形式中出現了\(\pi\)。實際上，可以將以\(2\pi\)為周期的函數的傅里葉級數提煉成更特殊的形式:

\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\\ \begin{cases}a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\\b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\end{cases} \]

這是在周期層面上的區分，在奇偶性的層面上也可以進行區分:

\[若f(x)為奇函數，有\\ \begin{cases} a_n=0\\ b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin nx \end{cases} \]

\[若f(x)為偶函數，有\\ \begin{cases} a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\cos nx\\ b_n=0 \end{cases} \]

復數項級數

如果說，上面以實數為項的級數是實數項級數，那么以復數為項的級數就是復數項級數。實際上，復數項級數的性質與實數項級數大體一致。

在復數項級數中。主要研究的是復數函數項級數，即復變函數項級數。由於性質與實數函數項級數一般沒有區別，下面僅列出幾點不同以供了解。

1. 設\(\alpha_n=a_n+ib_n,\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_n收斂的充要條件是\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n和\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\)均收斂。

2. 實數函數項級數的收斂域對應復變函數項級數中的收斂圓盤，該圓盤的邊界稱為收斂圓。

3. \[\]

\[ ###### 復變函數項級數的展開 復變函數項的展開主要是指**泰勒展開**。假定$f(z)$在$z_0$處解析，則其可在此處展開為泰勒級數。展開方式與實數函數項級數完全相同。 然而，假若要對在$z_0$處不解析的$f(z)$進行展開，可以將其展開為用以替代泰勒級數的**洛朗級數**。 洛朗級數是為在一個不解析的點的一個解析的環形鄰域上進行的展開，其形式為: \]

f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{{+\infty}c_n(z-z_0)}n\
其中c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz

\[不難發現，有(稱泰勒級數為Taylor,洛朗級數為Laurent): \]

Taylor=\sum\limits_{n=-\infty}^{{+\infty}c_n(z-z_0)}n=\sum\limits_{n=-\infty}^{{0}c_n(z-z_0)}n+\sum\limits_{n=0}^{{+\infty}c_n(z-z_0)}n\
\Rightarrow Taylor=Laurent+\sum\limits_{n=1}^{{+\infty}\frac{c_n}{(z-z_0)}n}

\[\]