有关于级数的一些话

级数是个什么东西

在说道:"级数是个什么东西"之前，先要肯定"数列是个什么东西"是不言而喻的。作为研究数与数之间在连续层面上依赖关系的函数的姊妹，数列研究数与数之间在离散层面上的依赖关系。
在对于极限概念的探讨上，函数有微积分，数列有级数。所谓"从此到彼，所历之和"在函数中指的是积分，在数列中指的就是部分和数列。按照这个思路，由一个函数可以催生一个新的函数，数列同理。
数列的和应该对标的是函数中的无穷积分。两者的判敛法也是高度重合的。不过，因为不离散，无穷积分中没有比值判敛法和根值判敛法。

什么叫函数项级数

假定函数的本质是一个映射：
那么，函数项级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n,x)\)是一个由x\(\rightarrow\)\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n)\)的映射。即由自变量向一个数项级数的映射。所对应的级数收敛的自变量为收敛点，发散的自变量为发散点，收敛点的集合构成收敛域。在收敛域上，每一个自变量所对应的级数都是收敛的，即这些自变量都对应着一个自己的和。如此，便构筑起了一个由自变量\(\rightarrow\)和的映射，将这个映射称之为和函数。

当形式为\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n\)时，称之为幂级数。称\(a_n\)为系数。对其收敛域有Abel阿贝尔定理，延伸出收敛半径R及收敛区间。

\[\rho=\begin{cases}\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\\\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{a_{n}}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\rho=0,R=+\infty\\\rho=+\infty,R=0\\0<\rho<+\infty,R=\frac{1}{\rho}\end{cases} \]

当用如上方法难以求解，可以尝试使用换元法，或者对\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_n=a_nx^n\)使用数项级数的比值法进行求解。

和函数的求解

已知一个函数项级数对应一个和函数，那么这样的转化是如何进行的呢？实际上，这是一个非构造性的过程。

首先，我们的确有一些范本，用以进行最基础的求解:

\[1.\quad\sum_{0}^{+\infty}x^{an}=\frac{1}{1-x^a}\\ 2.\quad\sum_{10}^{+\infty}x^{an}=\frac{x^a}{1-x^a} \]

不过，当然不能直接使用范本的情况是更多的。这是就要想办法去套用范本。要套用，就要改变形式。如何改变形式？

注释：用\(S(x)\)来表示和函数，用\(\sum_{n=1}^{+\infty}f(n,x)\)来表示函数项级数。

1. 凑配法：在方程两边同时乘除一个式子。
2. 积分法：\(S'(x)=[\sum_{n=1}^{+\infty}f(n,x)]'=\sum_{n=1}^{+\infty}f'(n,x)\)
3. 求导法：\(\int_{0}^{x}S(x)=\int_{0}^{x}[\sum_{n=1}^{+\infty}f(n,x)]=\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{0}^{x}[f(n,x)]\)

函数与级数的关系

如果提到要在函数和级数之间建立一种映射，或许还要提到上面所说的和函数。已知存在函数项级数有自己唯一对应的和函数，那么可以建立一个函数项级数\(\rightarrow\)和函数的映射，那么有反映射:函数\(\rightarrow\)级数。称由一个函数得到对应级数的过程为展开成级数。

相对于求解一个函数项级数的和函数这样的一个非构造性问题，函数的展开更像是一个构造性问题。

graph TB a[展开成级数]==>tl[泰勒级数] a==>b[傅里叶级数] b-->c[以2π为周期的周期函数] b-->d[以2i为周期的周期函数] style a fill:#e44800,stroke:#333,stroke-width:1px; style b fill:#ffaa5d,stroke:#333,stroke-width:1px; style tl fill:#ffaa5d,stroke:#333,stroke-width:1px; style c fill:#f0e1b0,stroke:#333,stroke-width:1px; style d fill:#f0e1b0,stroke:#333,stroke-width:1px;

展开成泰勒级数

准许条件是在展开点有无穷阶微分。对符合条件的函数施以泰勒公式，则得泰勒级数

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \]

特殊的，当\(x_0\)取0，称之为麦克劳林级数，化简后形式为

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{ f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]

下面列举一下比较常见的泰勒级数展开：

函数|级数|范围
|:-😐:-😐:-😐:-😐:-
\(sinx\) | \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) | \(-\infty<x<\infty\)
\(cosx\) | \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\) |\(-\infty<x<\infty\)
\(arctanx\) | \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\) |\(\| x\|<1\)
\(e^x\) | \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\)| \(-\infty<x<\infty\)
\(\frac{1}{1-x}\) | \(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\) | \(\|x\|<1\)
\(\frac{1}{1+x}\) | \(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n\) | \(\|x\|<1\)
\(ln(1+x)\)|\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(-1<x\le1\)

展开成傅里叶级数

准许条件是该函数具有周期性。假定一个复合条件的函数周期为\(2i\)。

\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\\ \begin{cases}a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\\b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\end{cases} \]

到这里，已经为傅里叶级数创造了一个最基础的范本。在这之下，还有许多变数。详见下图

graph TB a[傅里叶级数]==>tl[按奇偶性区分] tl-->tl1[正弦级数] tl-->tl2[余弦级数] a==>b[按周期区分] b-->c[以2π为周期的函数] b-->d[以2i为周期的函数] style a fill:#647256,stroke:#333,stroke-width:1px; style b fill:#9da46e,stroke:#333,stroke-width:1px; style tl fill:#9da46e,stroke:#333,stroke-width:1px; style c fill:#63bf8e,stroke:#333,stroke-width:1px; style d fill:#63bf8e,stroke:#333,stroke-width:1px; style tl1 fill:#63bf8e,stroke:#333,stroke-width:1px; style tl2 fill:#63bf8e,stroke:#333,stroke-width:1px;

在上面范本的形式中出现了\(\pi\)。实际上，可以将以\(2\pi\)为周期的函数的傅里叶级数提炼成更特殊的形式:

\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\\ \begin{cases}a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\\b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\end{cases} \]

这是在周期层面上的区分，在奇偶性的层面上也可以进行区分:

\[若f(x)为奇函数，有\\ \begin{cases} a_n=0\\ b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin nx \end{cases} \]

\[若f(x)为偶函数，有\\ \begin{cases} a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\cos nx\\ b_n=0 \end{cases} \]

复数项级数

如果说，上面以实数为项的级数是实数项级数，那么以复数为项的级数就是复数项级数。实际上，复数项级数的性质与实数项级数大体一致。

在复数项级数中。主要研究的是复数函数项级数，即复变函数项级数。由于性质与实数函数项级数一般没有区别，下面仅列出几点不同以供了解。

1. 设\(\alpha_n=a_n+ib_n,\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_n收敛的充要条件是\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n和\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\)均收敛。

2. 实数函数项级数的收敛域对应复变函数项级数中的收敛圆盘，该圆盘的边界称为收敛圆。

3. \[\]

\[ ###### 复变函数项级数的展开 复变函数项的展开主要是指**泰勒展开**。假定$f(z)$在$z_0$处解析，则其可在此处展开为泰勒级数。展开方式与实数函数项级数完全相同。 然而，假若要对在$z_0$处不解析的$f(z)$进行展开，可以将其展开为用以替代泰勒级数的**洛朗级数**。 洛朗级数是为在一个不解析的点的一个解析的环形邻域上进行的展开，其形式为: \]

f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{{+\infty}c_n(z-z_0)}n\
其中c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz

\[不难发现，有(称泰勒级数为Taylor,洛朗级数为Laurent): \]

Taylor=\sum\limits_{n=-\infty}^{{+\infty}c_n(z-z_0)}n=\sum\limits_{n=-\infty}^{{0}c_n(z-z_0)}n+\sum\limits_{n=0}^{{+\infty}c_n(z-z_0)}n\
\Rightarrow Taylor=Laurent+\sum\limits_{n=1}^{{+\infty}\frac{c_n}{(z-z_0)}n}

\[\]