二叉樹遍歷方法

 

 

 

 

前序遍歷

 

具體過程：

1. 先訪問根節點
2. 再序遍歷左子樹
3. 最后序遍歷右子樹

中序遍歷

 

 

具體過程：

1. 先中序遍歷左子樹
2. 再訪問根節點
3. 最后中序遍歷右子樹

 

后序遍歷

遞歸方式實現后序遍歷

1. 先后序遍歷左子樹
2. 再后序遍歷右子樹
3. 最后訪問根節點

層次遍歷

 二叉樹先序遍歷的實現思想是：

1. 訪問根節點；
2. 訪問當前節點的左子樹；
3. 若當前節點無左子樹，則訪問當前節點的右子樹；

圖 1 二叉樹
 

以圖  1 為例，采用先序遍歷的思想遍歷該二叉樹的過程為：

1. 訪問該二叉樹的根節點，找到 1；
2. 訪問節點 1 的左子樹，找到節點 2；
3. 訪問節點 2 的左子樹，找到節點 4；
4. 由於訪問節點 4 左子樹失敗，且也沒有右子樹，因此以節點 4 為根節點的子樹遍歷完成。但節點 2 還沒有遍歷其右子樹，因此現在開始遍歷，即訪問節點 5；
5. 由於節點 5 無左右子樹，因此節點 5 遍歷完成，並且由此以節點 2 為根節點的子樹也遍歷完成。現在回到節點 1 ，並開始遍歷該節點的右子樹，即訪問節點 3；
6. 訪問節點 3 左子樹，找到節點 6；
7. 由於節點 6 無左右子樹，因此節點 6 遍歷完成，回到節點 3 並遍歷其右子樹，找到節點 7；
8. 節點 7 無左右子樹，因此以節點 3 為根節點的子樹遍歷完成，同時回歸節點 1。由於節點 1 的左右子樹全部遍歷完成，因此整個二叉樹遍歷完成；

因此，圖 1 中二叉樹采用先序遍歷得到的序列為：

1 2 4 5 3 6 7

 

二叉樹中序遍歷的實現思想是：

1. 訪問當前節點的左子樹；
2. 訪問根節點；
3. 訪問當前節點的右子樹；

圖 1 二叉樹
 

以圖  1 為例，采用中序遍歷的思想遍歷該二叉樹的過程為：

1. 訪問該二叉樹的根節點，找到 1；
2. 遍歷節點 1 的左子樹，找到節點 2；
3. 遍歷節點 2 的左子樹，找到節點 4；
4. 由於節點 4 無左孩子，因此找到節點 4，並遍歷節點 4 的右子樹；
5. 由於節點 4 無右子樹，因此節點 2 的左子樹遍歷完成，訪問節點 2；
6. 遍歷節點 2 的右子樹，找到節點 5；
7. 由於節點 5 無左子樹，因此訪問節點 5 ，又因為節點 5 沒有右子樹，因此節點 1 的左子樹遍歷完成，訪問節點 1 ，並遍歷節點 1 的右子樹，找到節點 3；
8. 遍歷節點 3 的左子樹，找到節點 6；
9. 由於節點 6 無左子樹，因此訪問節點 6，又因為該節點無右子樹，因此節點 3 的左子樹遍歷完成，開始訪問節點 3 ，並遍歷節點 3 的右子樹，找到節點 7；
10. 由於節點 7 無左子樹，因此訪問節點 7，又因為該節點無右子樹，因此節點 1 的右子樹遍歷完成，即整棵樹遍歷完成；

因此，圖 1 中二叉樹采用中序遍歷得到的序列為：

4 2 5 1 6 3 7

二叉樹后序遍歷的實現思想是：從根節點出發，依次遍歷各節點的左右子樹，直到當前節點左右子樹遍歷完成后，才訪問該節點元素。

圖 1 二叉樹
 

如圖 1 中，對此二叉樹進行后序遍歷的操作過程為：

• 從根節點 1 開始，遍歷該節點的左子樹（以節點 2 為根節點）；
• 遍歷節點 2 的左子樹（以節點 4 為根節點）；
• 由於節點 4 既沒有左子樹，也沒有右子樹，此時訪問該節點中的元素 4，並回退到節點 2 ，遍歷節點 2 的右子樹（以 5 為根節點）；
• 由於節點 5 無左右子樹，因此可以訪問節點 5 ，並且此時節點 2 的左右子樹也遍歷完成，因此也可以訪問節點 2；
• 此時回退到節點 1 ，開始遍歷節點 1 的右子樹（以節點 3 為根節點）；
• 遍歷節點 3 的左子樹（以節點 6 為根節點）；
• 由於節點 6 無左右子樹，因此訪問節點 6，並回退到節點 3，開始遍歷節點 3 的右子樹（以節點 7 為根節點）；
• 由於節點 7 無左右子樹，因此訪問節點 7，並且節點 3 的左右子樹也遍歷完成，可以訪問節點 3；節點 1 的左右子樹也遍歷完成，可以訪問節點 1；
• 到此，整棵樹的遍歷結束。

由此，對圖 1 中二叉樹進行后序遍歷的結果為：

4 5 2 6 7 3 1

 滿二叉樹：二叉樹中每個內部結點都有存在左子樹和右子樹（或者說滿二叉樹所有的葉結點都有同樣的深度）

滿二叉樹一定是完全二叉樹，但完全二叉樹不一定是滿二叉樹

（滿二叉樹的嚴格的定義是：一顆深度為h且有2h-1個結點的二叉樹）

 

 

  完全二叉樹：

第一種解釋：如果一顆二叉樹除最右邊位置上有一個或幾個葉結點缺少外，其他是豐滿的那么這樣的二叉樹就是完全二叉樹（這句話不太好理解），看下面第二種解釋

第二種解釋：除第h層外，其他各層（1到h-1）的結點數都達到最大個數，第h層從右向左連續缺若干結點，則這個二叉樹就是完全二叉樹

也就是說如果一個結點有右子結點，那么它一定也有左子結點

第三種解釋：除最后一層外，每一層上的節點數均達到最大值，在最后一層上只缺少右邊的若干結點

完全二叉樹的形狀類似於下圖

 

 

為了方便理解請看下圖（個人理解：完全二叉樹就是從上往下填結點，從左往右填，填滿了一層再填下一層）

 

結點的度和層次

對於一個結點，擁有的子樹數（結點有多少分支）稱為結點的度（Degree）。例如，圖 1（A）中，根結點 A 下分出了 3 個子樹，所以，結點 A 的度為 3。

一棵樹的度是樹內各結點的度的最大值。圖 1（A）表示的樹中，各個結點的度的最大值為 3，所以，整棵樹的度的值是 3。

結點的層次：從一棵樹的樹根開始，樹根所在層為第一層，根的孩子結點所在的層為第二層，依次類推。對於圖 1（A）來說，A 結點在第一層，B、C、D 為第二層，E、F、G、H、I、J 在第三層，K、L、M 在第四層。

一棵樹的深度（高度）是樹中結點所在的最大的層次。圖 1（A）樹的深度為 4。

 

樹的表示方法

除了圖 1（A）表示樹的方法外，還有其他表示方法：

 

          （A）                                         （B）

圖2 樹的表示形式
 

圖 2（A）是以嵌套的集合的形式表示的（集合之間絕不能相交，即圖中任意兩個圈不能相交）。

圖 2（B）使用的是凹入表示法（了解即可），表示方式是：最長條為根結點，相同長度的表示在同一層次。例如 B、C、D 長度相同，都為 A 的子結點，E 和 F 長度相同，為 B 的子結點，K 和 L 長度相同，為 E 的子結點，依此類推。

最常用的表示方法是使用廣義表的方式。圖 1（A）用廣義表表示為：

(A , ( B ( E ( K , L ) , F ) , C ( G ) , D ( H ( M ) , I , J ) ) )

 

二叉樹的性質

1. 二叉樹中，第 i 層最多有 2^i-1 個結點。
2. 如果二叉樹的深度為 K，那么此二叉樹最多有 2^K-1 個結點。
3. 二叉樹中，終端結點數（葉子結點數）為 n₀，度為 2 的結點數為 n₂，則 n₀=n₂+1

參考：【圖解數據結構】 二叉樹遍歷