注：模板來自 acwing yxc
整數二分模板：
bool check(int x) {/* ... */} // 檢查x是否滿足某種性質
// 區間[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]時使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) r = mid; // check()判斷mid是否滿足性質
else l = mid + 1;
}
return l;
}
// 區間[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]時使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (check(mid)) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return l;
}
二分的疑惑主要是在mid的取值，以及l和r的迭代。
這里先討論第二個問題，先看模板一，這是在找左邊界，由於如果mid這個點滿足我們的條件，說明我們要求的邊界點在mid點或者mid左邊，但是不可能小於l，所以取區間[l,mid];如果mid點不滿足條件說明邊界點在mid右邊，但不可能等於mid或者大於r，但是可能取mid+1，所以我們取[mid+1,r]；然后看模板二，這是在找右邊界，如果mid滿足條件，那么右邊界可能在mid點或者大於mid小於等於r，所以我們取[mid,r]；如果mid不滿足條件，說明邊界點在mid左邊，所以取[l,mid-1];
第一個問題：首先明確兩點:
①mid值不同是為了防止死循環，而死循環的條件只有兩次迭代后，l或者r的值仍不改變。
②l，mid，r都是整數，說明如果存在l<mid<r這種類似的關系，不可能通過l或者mid加上一個小數而使得其中某一個<號變成=號。
而我們知道(l+r>>1)和(l+r+1>>1)不可能小於l或者大於r,且第一種情況滿足的是l<=mid<r，但我們每次迭代l的時候取的是mid+1，說明兩次迭代后的l不可能相等，因為l<mid+1嘛，又因為mid<r,而迭代r的方式是r=mid，說明r每次都在變小，不可能陷入死循環。第二種情況滿足的是l<mid<=r，我們迭代l的時候，令l=mid這樣l一定變大，令r=mid-1這樣r一定變小，不會陷入死循環。
這兩種mid取值的根本原因是c++的向下取整屬性，即int(l+r)/2<double(l+r)/2;