如圖，在正方體 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 中，\(M,N\) 分別是棱 \(AB,BB_1\) 的中點，點 \(P\) 在對角線 \(CA_1\) 上運動. 當 \(\triangle PMN\) 的面積最小時，點 \(P\) 的位置是 \((\qquad)\)
A. 線段 \(CA_1\) 的三等分點，且靠近 \(A_1\)
B. 線段 \(CA_1\) 的中點
C. 線段 \(CA_1\) 的三等分點，且靠近點 \(C\)
D. 線段 \(CA_1\) 的四等分點，且靠近點 \(C\)
解析：
要使 \(\triangle PMN\) 的面積最小，則需點 \(P\) 到直線 \(MN\) 的距離最小，即求異面直線 \(MN\) 與 \(A_1C\) 的最小距離。如圖
連接 \(A_1B\) 交 \(MN\) 於點 \(Q\) ，過點 \(Q\) 作 \(QP'\perp A_1C\) ，交 \(A_1C\) 於點 \(P'\) ，因為 \(MN\perp A_1B\) ，\(MN\perp BC\) ，所以 \(MN\perp\) 平面 \(A_1BC\) ，所以 \(MN\perp QP'\) ，又 \(QP'\perp A_1C\) ，所以 \(|QP'|\) 為異面直線 \(MN,A_1C\) 之間的最小距離。設正方體棱長為 \(1\) ，求得
\[A_1B=\sqrt{2},A_1Q=\dfrac{3}{4}\sqrt{2},A_1C=\sqrt{3} \]
易知 \(\triangle A_1QP'\sim\triangle A_1CB\) ，設 \(|A_1P'|=x\) ，則
\[\dfrac{|A_1P'|}{|A_1B|}=\dfrac{|A_1Q|}{|A_1C|}\Longrightarrow \dfrac{x}{\sqrt{2}}=\dfrac{\dfrac{3}{4}\sqrt2}{\sqrt3} \]
解得 \(x=\dfrac{\sqrt3}{2}\) ，所以當點 \(P\) 在點 \(P'\) 處（即 \(A_1C\) 中點）時，\(\triangle PMN\) 的面積最小.
答案：B