1. 什么是吉布斯現象
1.1. 什么吉布斯現象？
矛盾性：在時域描述一個不連續的信號要求信號的有無窮的頻率成分，但實際情況中不可能采樣到無窮的頻率成分。
實際中的信號采樣系統只能采樣一定的頻率范圍，對不連續信號（或有無窮頻率成分的信號）采樣將會存在頻率截斷。
頻率截斷會引起時域信號在不連續處產生“振鈴效應”，這個現象成為吉布斯現象。
吉布斯現象：由於頻率截斷現象，具有無窮頻率分量的信號在時域的不連續處會產生“振鈴效應”。
- 對連續時間周期信號可以進行傅里葉級數展開，如果只取其中的前有限項，將得到信號的一個最小均方誤差逼近。當項目增至無窮時，這個逼近在均方意義上收斂於原信號，但並不是一致收斂的。對於信號的跳變點，傅里葉級數的部分和將在該點附近出現波動，如將其輸入理想低通濾波器，則相當於對其頻率作了截斷，將會出現類似的效果。
- Gibbs 現象的產生有兩個條件：(1) 對信號頻譜的銳截止；(2) 原信號存在跳變點
1.2. 吉布斯現象形成的原因？
吉布斯現象形成的原因是：頻率截斷。
“頻率截斷”可以簡單地理解為一個理想的低通濾波器（截止頻率為\(w_c\)），如下圖所示：
| 幅頻特性 | 相頻特性 |
|---|---|
 |
 |
低通濾波器只保留\(|w|\le w_c\)的頻率成分，因此輸入信號的高頻部分將被截斷，丟失了部分頻率信息勢必會在時域上產生一定的影響。
下面將分別考慮低通濾波器對單位階躍信號，矩形脈沖信號，周期矩形脈沖信號的響應來分析吉布斯現象：
低通濾波器的單位階躍響應
理想的低通濾波器的頻率響應為
\[H(jw) = G_{2w_c}(w)e^{-jwt_d} \]
則單位階躍響應為
\[\begin{aligned} S(jw) &= H(jw)\mathscr{F}(u(t))\\ &= G_{2w_c}(w)e^{-jwt_d}\cdot [\pi \delta(w) + \frac{1}{jw}]\\ \end{aligned}\]
為求輸出信號的時域波形，進行傅里葉反變換，有
\[\begin{aligned} s(t) &= \mathscr{F}^{-1}(S(jw))\\ &= \frac{1}{2\pi}\int_{-w_c}^{w_c} [\pi \delta(w) + \frac{1}{jw}]e^{-jwt_d}\cdot e^{jwt} \mathrm{dw}\\ &= \frac{1}{2} + \int_{-w_c}^{w_c}\frac{1}{jw} e^{jw(t-t_d)} \mathrm{dw}\\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2\pi}\int_{-w_c}^{w_c}\frac{1}{jw}\cos{[w(t-t_d)]}\mathrm{dw} + \frac{1}{2\pi}\int_{-w_c}^{w_c}\frac{1}{w}\sin{[w(t-t_d)]}\mathrm{dw}\\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{w_c}\frac{1}{w}\sin{[w(t-t_d)]}\mathrm{dw}\\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{w_c(t-t_d)} \frac{\sin x}{x} dx \end{aligned}\]
其中上式的積分部分稱為正弦積分。輸出信號的時域波形如圖所示，它具有以下特點：
理想低通濾波器的單位階躍響應
- 輸出波形存在吉布斯波紋，它的振盪頻率等於\(\frac{2\pi}{w_c}\)；
- 上升沿之前存在一個幅度最大的負向振峰（預沖），在上升之后存在一個幅度最大的正向振峰（過沖）。無論截止頻率\(w_c\)多大，只要\(w_c < \infty\)，過沖和預沖的幅度總是穩定值的9%；
- 上升沿從預沖到過沖的時間與截止頻率有關，即\(t_r = \frac{2\pi}{w_c}\)，即\(w_c\)越大，上升越快，吉布斯波紋振盪越明顯（趨於無窮時，相當於階躍）
低通濾波器對矩形脈沖信號的響應
矩形脈沖信號可以看成兩個階躍信號的相減，故輸出信號可以看成低通濾波器的兩個階躍響應之差，易想象同樣存在吉布斯現象。
\[G_{\tau}(t)=u(t) - u(t-\tau) \]
低通濾波器對周期矩形脈沖信號的響應
設周期方波信號的周期為\(T=2\tau\)，則周期方波信號可以表示為
\[f(t) = 2G_{\tau}(t) * \delta_{2\tau}(t) - 1 \]
其頻譜為（\(\Omega = \frac{2\pi}{2\tau}=\frac{\pi}{\tau}\)）
\[\begin{aligned} F(jw) &= 2\tau Sa(\frac{\tau}{2}w) \Omega \delta_{_{\Omega}}(w) - 2\pi\delta(w)\\ &= \sum_{n=-\infty \atop n\not =0}^{n=+\infty} 2\pi Sa(\frac{n\pi}{2}) \delta(w - n\Omega) \end{aligned}\]
顯然，則是一個偶函數（\(F(jw)\)為純實數），也是一個奇諧函數（只有奇次諧波分量）。再考慮理想低通濾波器，其輸出相應相當於只取\(|w| < w_c\)的頻率分量，可以發現：
- 當\(w_c \gg \Omega\) 時，輸出信號較為接近原輸入信號，但是在不連續處存在預沖和過沖現象；
- 隨着\(w_c\)逐漸減小，上升沿變得緩慢（陡度降低），吉布斯波紋周期變長；
- 當\(w_c\)接近\(\Omega\)時，輸出信號退化為頻率等於基頻\(\Omega\)的正弦波。
1.3. 如何減小吉布斯現象？
- 低通濾波器對信號頻譜進行頻域加窗，頻窗有限引起時域的吉布斯波紋，可以考慮其它的頻窗，如三角窗等
- 另外，對時域加窗（時域截斷）也會出現的吉布斯波紋，因此需要選擇好合適的窗函數。