今天，我在博客園看到一篇文章，其中的問題我稍微改動一下：有兩個醫生，甲醫生，男性手術失敗率18.75%，女性手術，失敗率3.9%；乙醫生，男性手術失敗率20%，女性手術失敗率3.92%。問甲乙兩個醫生誰更優秀一些？
當時，我是這樣想的：甲醫生手術失敗率=（18.75%+3.9%）/2，約等於11.33%;乙醫生手術失敗率=（20%+3.92%）/2，約等於11.96%；由於11.33%比11.96%小，所以甲醫生更優秀一些。還有的人甚至不用計算，無論男性手術還是女性手術，甲醫生的失敗率都比乙醫生的小，整體上甲醫生的失敗率還是比乙醫生的小，所以甲醫生相對乙醫生更優秀一些。
看到這個題目，99%的人都會認為甲醫生比乙醫生更優秀一些；剩余的1%乙醫生可能更優秀一些。
先不討論誰對誰錯，我們再看一道題：有兩個醫生，甲醫生，男性手術16次，失敗3次，女性手術1000次，失敗39次；乙醫生，男性手術10次，失敗2次，女性手術1200次，失敗47次。問甲乙兩個醫生誰更優秀？
單獨來看就是就是一道算術題，確實也是。甲醫生手術失敗率=（3+39）/（16+1000），約等於4.1339%；乙醫生手術失敗率=（2+47）/（10+1200），約等於4.0496%。由於4.0496%小於4.1339%，所以這道題的答案是乙醫生更優秀一些。
不知道大家有沒有結合這兩道題來看，甲醫生，男性手術16次，失敗3次，失敗率=3/16，約等於18.75%；女性手術1000次，失敗39次，失敗率=39/1000=3.9%。乙醫生，男性手術10次，失敗2次，失敗率=2/10=20%；女性手術1200次，失敗47次，失敗率=47/1200，約等於3.92%。這時候，大家有沒有察覺到什么？
為什么甲醫生在男女手術失敗率上都比乙醫生的低，但在整體上，甲的手術失敗率卻比乙的高？
對於第一道題，我們習慣性將比較的對象統一。假設甲乙男性手術都是x次，女性手術都是y次（x，y都是大於1），這樣就有18.75%x<20%x，且3.9%y<3.92%y。於是(18.75%x+3.9%)/(x+y)<(20%x+3.92%y)/(x+y)也成立。我們再將情況特殊化，x=y時，就是前面計算的方法。對於甲乙手術次數不相同的情況，我們忽略了。甲在男性手術失敗率比乙的低，並且在女性手術失敗率也比乙的低，潛意識地認為甲整體失敗率肯定比乙低，理所當然是甲比較優秀。在甲乙手術次數不相同的情況下，甲乙誰更優秀就很難說，第二道題就是很好的例子。
對於第二道題，毋庸置疑是乙醫生更優秀。以乙醫生為例，男性手術失敗率為20%，女性手術失敗率為3.92%。肯定的說乙的整體失敗率為大於等於3.92%且小於等於20%。普遍來說，假設乙醫生男性手術失敗率為x(0<x<y<1)，手術次數為a(a>=0)；女性手術失敗率為y，手術次數為b(b>=0)。那么乙的整體失敗率=（ax+by）/（a+b）；（ax+by）/（a+b）=（ax+bx+b(y-x)）/（a+b）=x+（b（y-x）/（a+b））>=x；（ax+by）/（a+b）=（(a+b)y+a(x-y)）/（a+b）=y-(a(y-x)/(a+b))>=y。當a=0或b=0時，等號成立。當a=0且b=0時，乙就沒有手術失敗成功而言。總之，乙的整體失敗率在x和y之間，包含x(當b=0時)和y(當a=0時)，當a遠遠大於b時，整體失敗率趨近於x；當a遠遠小於b時，整體失敗率趨近於y。同樣也適合甲醫生，這樣也就解釋了甲醫生在男女手術失敗率上都比乙醫生的低，但在整體上，甲的手術失敗率卻比乙的高。
小結一下，對待把握性大的事情就多做；把握小性的事情就少做，甚至不做，這樣做成功的事情的幾率就很高。這也說明人的潛意識和直覺有時候也不靠譜。
PS:
后來，我發現先前對第一道題的分析確實有誤，對園友們產生的誤導感到抱歉。甲乙兩位醫生誰更優秀，應該在同一條件下進行比較，誰的整體手術失敗率低誰更優秀。這樣在男性（m次）和女性（n次）手術次數相同的情況下，甲醫生的整體手術失敗率=（18.75%m+3.9%n）/(m+n),乙醫生的整體手術失敗率=（20%m+3.92%n）/(m+n)。毋庸置疑，甲醫生的整體手術率比乙的低。因此，甲更優秀。
而就第二道題而言，在不同的手術次數下比較，條件不統一，甲乙醫生兩人之間沒有誰更優秀而言。但還是可以分析出，甲醫生在男女手術失敗率上都比乙醫生的低，但在整體上，甲的手術失敗率卻比乙的高。
總結，之前已經分析出，整體失敗率在男性手術失敗率與女性手術失敗率之間“浮動”，大於等於小者，且小於等於大者。而第二道題中甲醫生在男女手術失敗率上都比乙醫生的低，但在整體上，甲的手術失敗率卻比乙的高。這是手術次數不同產生的特例。