2020-2021 ACM-ICPC Latin American Regional Programming Contest K. Keylogger （dp,前綴和）

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• 題意：你的鍵盤有\(k\)個按鍵，矩陣\(T_{i,j}\),表示第\(i\)個鍵和第\(j\)個鍵之間的輸入頻率，並帶有一個\(L\)的修正，\(T\)的每一行都是非遞減的，現在你忘了你的密碼，但是你知道你密碼的相鄰兩個字符的輸入頻率，你需要構造一個序列，這個序列需滿足\(T_{S_i,S_{i+1}}-L \le P_i \le T_{S_iS_{i+1}}+L\),問你一共可以構造多少可能的序列並對\(10^9+7\)取模。

• 題解：對於\(P_1\)，我們要現在\(T\)中找一個合法的\({i,j}\)，那么對於\(P_2\)，我們就只能考慮\(j,x\),也就是說第一個位置必須是\(j\),那這很明顯是可以狀態轉移的，所以這題我們考慮dp。比如說對於\(P_1\)我們找到了\(i,j\),那么\(P_2\)的貢獻之一就可以由\(i,j\)轉移而來，但是不好寫，我們反着來，先找\(P_n\)，因為這樣如果我們有合法的位置，因為上一層算過了，就能直接轉移到這一層來。具體轉移就是看每一行，二分找一個滿足\(T_{S_i,S_{i+1}}-L \le P_i \le T_{S_iS_{i+1}}+L\)的區間，說明我們可以從區間內的上一層的這些行轉移過來。設\(dp[i][j]\)表示第\(P_i\)個間隔，第\(j\)行的所有可能序列數，假如\(pos1,pos2\)分別表示第\(j\)行合法的區間的左端點和右端點，所以有:\(dp[i][j]=\sum_{k=pos1}^{pos2}dp[i-1][k]\).這個復雜度是\(O(k)\)的，但因為區間是連續的所以可以用前綴和優化，操作之后\(dp[i][j]\)表示第\(P_i\)個間隔，前\(j\)行的所有可能序列數。

• 代碼:

  #include <bits/stdc++.h>
  #define ll long long
  #define fi first
  #define se second
  #define pb push_back
  #define me memset
  #define rep(a,b,c) for(int a=b;a<=c;++a)
  #define per(a,b,c) for(int a=b;a>=c;--a)
  const int N = 1e6 + 10;
  const int mod = 1e9 + 7;
  const int INF = 0x3f3f3f3f;
  using namespace std;
  typedef pair<int,int> PII;
  typedef pair<ll,ll> PLL;
  ll gcd(ll a,ll b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
  ll lcm(ll a,ll b) {return a/gcd(a,b)*b;}
  
  int k,L;
  int T[770][770];
  int n;
  int P[N];
  ll dp[100010][800];
  
  int main() {
      scanf("%d %d",&k,&L);
      for(int i=1;i<=k;++i){
          for(int j=1;j<=k;++j){
              scanf("%d",&T[i][j]);
          }
      }
      scanf("%d",&n);
      for(int i=1;i<n;++i){
          scanf("%d",&P[i]);
      }
      for(int i=1;i<=k;++i) dp[n][i]=i;
      for(int i=n-1;i>=1;--i){
          for(int j=1;j<=k;++j){
              dp[i][j]=dp[i][j-1]; //前綴和
              int pos1=upper_bound(T[j]+1,T[j]+1+k,P[i]+L)-T[j];
              int pos2=lower_bound(T[j]+1,T[j]+1+k,P[i]-L)-T[j];
              ll res1,res2;
              res1=dp[i+1][pos1-1];
              res2=dp[i+1][pos2-1];
              dp[i][j]=(dp[i][j]+res1-res2+mod)%mod;
          }
      }
      printf("%lld\n",dp[1][k]);
      return 0;
  }