《數學競賽和物理競賽的強度差距有多大？》 https://www.zhihu.com/question/348296109/answer/2058029911
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上圖 是 https://www.zhihu.com/question/348296109/answer/1914288599 這個 回答 。
橙色線 划 的 第一道題 ： 螞蟻速度與距離成反比，求爬行時間。
用 微元法 解 ：
設 距離 為 s ， 時間 為 t ， 將 s 分為 一小份一小份 的， 每一份 為 ⊿ s ， 讓 ⊿ s 很小， 趨於 0， 即 ⊿ s -> 0 ， 可以寫成
⊿ s = s / n , n ∈ N , n -> 無窮
因為 速度 與 距離 成 反比 ， 即
v = k / s , k 為 常數
於是，
t = ⊿ s / [ k / ⊿ s ] + ⊿ s / [ k / ( 2 ⊿ s ) ] + ⊿ s / [ k / ( 3 ⊿ s ) ] + …… + ⊿ s / [ k / ( n ⊿ s ) ] , n ∈ N , n -> 無窮
= ⊿ s ² / k + 2 ⊿ s ² / k + 3 ⊿ s ² / k + …… + n ⊿ s ² / k
= ⊿ s ² / k * ( 1 + 2 + 3 + …… + n )
= ⊿ s ² / k * ( n ² + n ) / 2
= ( s / n ) ² / k * ( n ² + n ) / 2
= s ² / ( k n ² ) * ( n ² + n ) / 2
= s ² / ( k n ² ) * n ² / 2 + s ² / ( k n ² ) * n / 2
= s ² / ( 2 k ) + s ² / ( 2 k n )
因為 n -> 無窮， s ² / ( 2 k n ) -> 0 ， 可以 忽略， 可 舍去 ， 於是 ，
t = s ² / ( 2 k )
= 1/2 * s ² / k
用 微分方程 解 ：
由題意， 可列 微分方程
ds / dt = k / s , k 為 常數
解 微分方程，
s ds = k dt
兩邊積分，
ʃ s ds = ʃ k dt
1/2 s ² = k t
t = 1/2 * s ² / k
第二題 ， 軌跡 的 微分方程 是 dr / r = - tan θ dθ 。
dr / r = - tan θ dθ
兩邊積分，
ʃ dr / r = ʃ - tan θ dθ
ln r = - ʃ tan θ dθ (1) 式
ʃ tan θ dθ
= ʃ sin θ / cos θ dθ (2) 式
因為 d ( sin θ ) / dθ = cos θ ，
dθ = d ( sin θ ) / cos θ (3) 式
將 (3) 式 代入 (2) 式 ，
ʃ sin θ / cos θ dθ
= ʃ sin θ / cos θ * d ( sin θ ) / cos θ
= ʃ sin θ / ( cos θ ) ² * d ( sin θ )
= ʃ sin θ / [ 1 - ( sin θ ) ² ] * d ( sin θ ) (4) 式
設 u = sin θ ， 代入 (4) 式
ʃ sin θ / [ 1 - ( sin θ ) ² ] * d ( sin θ )
= ʃ u / ( 1 - u ² ) * du
= ʃ 1/2 * 2 u / ( 1 - u ² ) * du
因為 d ( u ² ) / du = 2u， d ( u ² ) = 2u du ， 代入上式，
= 1/2 * ʃ 1 / ( 1 - u ² ) * d ( u ² )
= - 1/2 * ʃ 1 / ( 1 - u ² ) * d ( 1 - u ² )
= - 1/2 * ln | 1 - u ² |
將 u = sin θ 代回，
= - 1/2 * ln | 1 - ( sin θ ) ² |
= - 1/2 * ln ( cos θ ) ²
= - ln | cos θ |
即 ʃ tan θ dθ = - ln | cos θ | ， 代回 (1) 式 ，
ln r = - ʃ tan θ dθ
= ln | cos θ |
即 r = | cos θ |
即 軌跡方程 是 r = | cos θ |
做完了才發現， 用 dθ = - d ( cos θ ) / sin θ 代入的話， ʃ tan θ dθ 一步 就 積出來了 。
知乎問題《如何成為數學系大佬?》里 的 一個 回答 ： https://www.zhihu.com/question/324016935/answer/690972258
《如果現在中國人中出現一位歐拉或者希爾伯特之類的數學家並全職留在國內，是否會影響中國數學進步的進程？》 https://www.zhihu.com/question/450742382/answer/1795855590
又看到一題（數學吧 的）， 《毫無頭緒…》 https://tieba.baidu.com/p/7542471768 ，
我 不小心 看了 一下 3 樓 的 答案 。 思維機器