基本概念
符號
- 目前廣泛采用的服務系統符號表示為 X/Y/Z/A/B/C，
- 其中 X 為顧客相繼到達時間間隔的分布；
- Y 為服務時間的分布；
- Z 為並列服務台的個數；
- A 為排隊系統的容量；B 為顧客源數； C 服務規則
- 服務規則常用以下符號：
- FCFS——表示先到先服務的排隊規則；
- LCFS——表示后到先服務的排隊規則；
- PR——表示優先權服務的排隊規則.
- 表示相繼到達間隔時間和服務時間分布的各種符號為：
- M——負指數分布 (Markov，負指數分布具有無記憶性)
- D——定長分布 (Deterministic)
- E_k——k 階愛爾朗分布
- GI——一般相互獨立的時間間隔分布
- G——一般服務時間隨機分布
- 例如，M/M/1 表示相繼到達間隔服從負指數分布、服務時間服從負指數分布、單服務台的模型。
- 一般約定，如略去后三項即指 X/Y/Z/∞/∞/FCFS 的情形，服務規則為先到先服務，顧客源為∞，系統容量為∞。
模型
單服務台排隊模型
設系統的輸入過程服從泊松流，服務時間服從負指數分布，則單服務台的排隊系統有以下三種情況：
- 標准型：M/M/1/∞/∞
排隊模型 M/M/1/∞/∞表示顧客源無限，顧客的到達相互獨立，到達規律服從參數為 λ 的泊松分布；各顧客的服務時間相互獨立。且服從參數為 µ 的負指數分布；單服務台，隊長無限，先到先服務 - 系統容量有限型：M/M/1/N/∞
- 顧客源有限型：M/M/1/∞/m
例題：單服務台排隊模型
例2.1 某公路收費入口處設有一個收費亭，汽車進入路口必須向收費處交費. 收費亭的收費時間服從負指數分布，平均每輛汽車的收費時間為 7.2s，汽車的到達率為 400 輛/h，服從泊松分布. 試求：
(1)收費亭空閑的概率；
(2)收費亭前沒有車輛排隊的概率；
(3)收費亭前排隊長度超過 100m(即車輛超過 12 輛)的概率；
(4)平均排隊長度；
(5)車輛通過收費亭所花時間的平均值；
(6)車輛的平均排隊時間。
解：這顯然是一個 M/M/1/∞/∞問題，收費亭是服務台，汽車是顧客，汽車向收費亭交費便是接受服務.
λ=400輛/ℎ, u=1/7.2 輛/s=500輛/ℎ；
服務強度 ρ=λ/u=400/500=0.8<1，故排隊系統是穩定的.
(1)收費亭空閑的概率：
即系統中沒有車輛到達的概率 P_0 ，即 P_0=1−ρ=0.2
(2)收費亭前沒有車輛排隊的概率： 當系統中沒有車輛或者只有一輛車輛的時候 (這輛車正在被服務)，便沒有車輛排隊，即：P(j≤1)=P_0+P_1=0.2+0.2×0.8=0.36
系統容量有限型模型 M/M/1/N/∞
系統容量為N就是系統內只能容納N個顧客，多了將被拒絕進入系統. 在單服務台系統中排隊等待的顧客最多是(N-1)個.
例題
例2.2 某市區有一個汽車加油站，站上服務台平均36s處理一輛汽車，加油時間服從負指數分布，汽車到加油站加油的到達率為80輛/h，並服從泊松分布. 當等待加油的汽車超過10輛(即排隊長度超過80m)時，將影響附近街道的正常交通，因而規定排隊車輛不得超過10輛.
試求：(1)加油站空閑的概率；(2)汽車來加油但因排隊已滿被拒絕的概率；(3)在系統中的平均顧客數；(4)平均排隊長度；(5)汽車在加油過程中所花的時間；(6)汽車的排隊等候時間.
顧客源有限型：M/M/1/∞/m
此模型的顧客總體雖然只有m個，但是每一個顧客到來並接受服務后仍然可以回到顧客總體，所以對系統的容量是沒有限制的，實際上系統中的顧客數永遠也不會超過m，即與M/M/1/m/m的意義相同.
例如某車間有m台機器，出故障后就到修理處修理，修好后送還車間. 這種情況下，機器可以看成顧客，修理處是一單台服務系統，而車間是它的顧客源. 顯然，潛在的顧客只有m個，故為有限源排隊系統.
多服務台排隊模型
M/M/3/∞/∞系統
例2.3 某售票所有三個窗口，顧客的到達數服從泊松分布，平均到達率為 0.9 人/min，售票時間服從負指數分布，平均服務率為 0.4 人/min，現有顧客到達后排成一個隊，以此向空閑的窗口購票，試計算該窗口的狀態指標和運行指標.
系統容量有限型：M/M/n/N/∞
例2.4 汽車自動加油站上設有兩個加油管，汽車按簡單流到達，平均每2min到達一輛，汽車加油時間服從負指數分布，平均每輛車的加油時間為2min. 自動加油站最多只能停3輛汽車等待加油，如果汽車到來時，系統已飽和，則汽車另求服務. 試求該系統的運行指標.
顧客源有限型M/M/n/∞/m
無例題，跟前面的差不多，對照課件改一改
一般服務時間 M/G/1 模型
前面介紹的各種排隊系統，其輸入過程都是泊松流，服務時間都服從負指數分布，故也統稱泊松排隊系統. 他們都屬於生滅過程排隊系統. 當一個排隊系統的輸入過程非泊松流，或者其服務時間不服從負指數分布，則稱為非泊松排隊系統. 本節僅以一般時間服務時間排隊系統 M/G/1 為典型代表，重點介紹其性能指標的計算.
例題
例2.5 有一個售票口，已知顧客按平均 2 分 30 秒的時間間隔的負指數分布到達，顧客在售票窗口前的服務時間平均為 2 分鍾.
(1)若服務時間也服從負指數分布，求顧客為購票所需的平均逗留時間和等待時間.
(2)若經過調查，顧客在售票口前至少要占用 1 分鍾，且認為服務時間服從負指數分布是不恰當的，而應該服從以下概率密度分布：
再求顧客的逗留時間和等待時間.
M/D/1定長服務時間系統
例2.6 某實驗室有一台自動檢驗機器性能的儀器，要求檢驗機器性能的顧客按泊松分布到達，每小時平均4個顧客，檢驗每台機器所需的時間為6分鍾. 求：
(1)在檢驗室內機器台數；
(2)等候檢驗的機器台數；
(3)每台機器在室內消耗(逗留)時間；
(4)每台機器平均等待檢驗的時間.
案例分析
■ 問題背景： 某條道路上要設收費站，單向車流量為 800 輛/h. 假設工作人員平均能在 8s 內處理一輛汽車，符合負指數分布. 試分析收費亭單項至少需設多少通道，並對不同的系統進項評估.