卷積定義
卷積理解
卷積是兩個變量在某范圍內相乘后求和的結果。
離散情況下是數列相乘再求和
連續情況下是函數相乘再積分
卷積是兩個函數的運算方式，就是一種滿足一些條件（交換律、分配率、結合律、數乘結合律、平移特性、微分特性、積分特性等）的算子。【用一種方式將兩個函數聯系到一起】
從形式上講，就是先對g函數進行翻轉，相當於在數軸上把g函數從右邊翻轉到左邊去，然后再把g函數平移到n，在這個位置上對兩個函數的對應點相乘，然后相加。這就是“卷”的過程。
【函數翻轉，滑動疊加（積分、加權求和）】
有一種學術的說法：卷積是將過去所有連續信號經過系統的響應之后得到的在觀察那一刻的加權疊加。
【從打板子的例子來看結合前邊提到的連續形式f和g的卷積，可以理解為f和g的卷積在n處的值是用來表示在時刻n 遭受的疼痛程度。f(t)是在說t這一時刻的人打的力度，g(n-t)說的是現在站在n時刻開始統計 這個t時刻打的板子本身的疼痛程度變化成了什么樣子。將所有積分計算出來 就可以知道到n時刻這個人有多痛。】（至於積分上下限就不能用這個時刻來理解了，畢竟現在無法知道未來。）
不過從這個簡單的例子中還是可以窺見一些卷積公式的奧秘，我們知道在實際推導時主要是在推導兩個隨機變量的和的時候推導出來的。
卷積公式數學推導過程
在知道兩個隨機變量的聯合分布時，通過積分區域的划分找到求和小於z的概率 也就是和的分布。那么如果放在這里是什么意思呢？
個人理解
從公式的推導過程中可以看出，求解過程中使用了變量替換 v = y + x，可以理解為將y軸向上平移了x個單位。積分上限不再包含x 只與z有關。可以理解為將圖中那條X + Y = Z 變成一條平行與x軸的直線，這樣積分的時候所有的上限都是固定的。這是求分布函數的理解。積分就是給定z計算函數曲面在指定區域內的面積。
那么轉到密度函數呢？
我們知道平面曲線下，即一維密度函數值是分布函數在該點處的切線斜率；這個面積的求導刻畫的是面積的變化程度，微小到微小 變化率的快慢。
如果放在二元積分中，只看圖中\(F_z(z)\)的表達式可以看出最里邊的積分計算出來是一個關於v的函數然后對v進行積分積到z的那條與x軸平行的地方，可以沿着v軸掃描，每一個點對應的值凝結了這條平行於x軸曲線上的所有質量。【不知道能不能看懂，要是有人看不懂的話我就根據意見再改改 雖然也不知道對不對】
在凝結過程中這條曲線是隨着dv去變的，放在每一個點處用帶z的函數來表示 自然就是將其中的v換成z。這就是z的密度函數的由來。
放在前邊打巴掌的例子就像 外邊那層積分是對時間進行積分，現在里邊這個函數計算的就是每個時間點內的疼痛程度。打巴掌這個受外力和本身疼痛兩個因素影響的函數構成的就是我們公式推導的兩個因素獨立的情況。至於翻轉的原因可以理解為本來沿着y=-x這條軸移動 現在變成了y = z這條軸移動 變量做了一定的調整，物理意義目前還沒有思路（只能從數學角度說是變換了坐標系 現在又換回去是這種體現-_-）
總結
上述內容是結合現在已有的說法和自己個人的理解對卷積公式做出了一點點闡釋
個人理解部分不一定正確（不過本人覺得這種說法可以說服我 如果文中有哪些地方大家覺得不太正確可以提出來 一起討論！）