字符串匹配算法(三)-KMP算法

今天我們來聊一下字符串匹配算法里最著名的算法-KMP算法，KMP算法的全稱是 Knuth Morris Pratt 算法，是根據三位作者（D.E.Knuth，J.H.Morris 和 V.R.Pratt）的名字來命名的。KMP算法和BM的算法思想類似，如果對BM算法不熟悉的同學可以看這篇文章BM算法詳解。 

KMP算法原理

      KMP的算法核心思想是，當模式串b和主串a在進行匹配的時候，如果遇到不匹配的字符，我們希望找到一種規律，可以使得模式串b多向后滑動幾位，跳過那些肯定不匹配的情況。

      首先我們先明確二個定義：在模式串和主串匹配的過程中，我們把不能匹配的字符叫做壞字符，把已經匹配的那段字符叫做好前綴。在模式串和主串匹配的過程中，當遇到壞字符后，對於已經比對過的好前綴，能否找到一種規律，將模式串可以滑動多位呢。

 

 

      其實我們只需要拿好前綴本身，在他的后綴子串中，查找最長的那個可以跟好前綴的前綴子串匹配的。假設最長可匹配的那部分前綴子串是{u}，長度是k。我們可以把模式串一次性先后滑動j-k位，即當匹配到壞字符時，我們把j更新為k，然后i不變，然后再繼續匹配。

     下面我們再明確兩個定義，我們把好前綴的所有后綴子串中，最長的可以匹配前綴子串的那個后綴稱為最長可匹配后綴子串，對應的前綴子串叫做最長可匹配前綴子串。那如何來求好前綴的最長可匹配前綴和后綴子串呢？

 

 

 

       KMP算法是通過構建了一個數組來求的。該數組的下標是每個前綴結尾字符下標，該數組的值是這個前綴的最長可以匹配前綴子串的結尾字符下標。我們把這個數組定義為 next 數組，同時也可以稱為是失效函數。如下圖所示。

next數組的計算方法

    我們來思考這么一個問題。如果next[i-1]=k-1，也就是說子串b[0, k-1]是b[0, i-1]的最長可匹配前綴子串。如果子串 b[0, k-1]的下一個字符 b[k]，與 b[0, i-1]的下一個字符 b[i]匹配，那么子串 b[0, k]就是 b[0, i]的最長可匹配前綴子串。所以，next[i]等於 k。如果 b[0, k-1]的下一字符 b[k]跟 b[0, i-1]的下一個字符 b[i]不相等呢？那我們這個時候就不能簡單地通過 next[i-1]得到 next[i]了。這個時候該怎么辦呢？我們假設 b[0, i]的最長可匹配后綴子串是 b[r, i]。如果我們把最后一個字符去掉，那 b[r, i-1]肯定是 b[0, i-1]的可匹配后綴子串，但不一定是最長可匹配后綴子串。所以，既然 b[0, i-1]最長可匹配后綴子串對應的模式串的前綴子串的下一個字符並不等於 b[i]，那么我們就可以考察 b[0, i-1]的次長可匹配后綴子串 b[x, i-1]對應的可匹配前綴子串 b[0, i-1-x]的下一個字符 b[i-x]是否等於 b[i]。如果等於，那 b[x, i]就是 b[0, i]的最長可匹配后綴子串。可是，如何求得 b[0, i-1]的次長可匹配后綴子串呢？次長可匹配后綴子串肯定被包含在最長可匹配后綴子串中，而最長可匹配后綴子串又對應最長可匹配前綴子串 b[0, y]。於是，查找 b[0, i-1]的次長可匹配后綴子串，這個問題就變成，查找 b[0, y]的最長匹配后綴子串的問題了。按照這個思路，我們可以考察完所有的 b[0, i-1]的可匹配后綴子串 b[y, i-1]，直到找到一個可匹配的后綴子串，它對應的前綴子串的下一個字符等於 b[i]，那這個 b[y, i]就是 b[0, i]的最長可匹配后綴子串。這塊比較繞，可以先看代碼，然后反過來多讀幾遍。

#b表示模式串
#m表示模式串的長度
def getNext(b,m):
     next=[-1]*m
     k=-1
     for i in range(1,m):
          while k!=-1 and b[k+1]!=b[i]:
               k=next[k]
          if b[k+1]==b[i]:
               k=k+1
​
          next[i]=k
     return next

　　

 我們有了next數組后，就可以動手來實現kmp算法了。

#b表示模式串
#m表示模式串的長度
def getNext(b,m):
     next=[-1]*m
     k=-1
     for i in range(1,m):
          while k!=-1 and b[k+1]!=b[i]:
               k=next[k]
          if b[k+1]==b[i]:
               k=k+1

          next[i]=k
     return next

def kmp(a,n,b,m):
     next=getNext(b,m)
     print(next)
     j=0
     for i in range(n):
          while j>0 and a[i]!=b[j]:
               j=next[j-1]+1

          if(a[i]==b[j]):
               j=j+1

          #找到匹配模式串的了
          if(j==m):
               return i-m+1

     return -1

        到此為止，我們的kmp算法就學完了。更多硬核知識，請關注公眾號。