修訂於2012-06-18，心急的讀者可以着重看“有趣的字符串匹配提示”，這個例子看懂了，KMP也就差不多了。
閑話
上午算法考試的時候，感覺OK，前一兩星期幸好把圖算法都吃透了一遍，復習的時候節省了時間:)。前一半考題不理解背書的都可以，有幾題沒記過，不靠譜地照着理解寫下來。最后的吹水題讓我想起了之前的比賽，有一題是曹老師給的實驗題，剛好比賽上出現了，而且相似度極高。要是高考，曹老師可就紅了:)。這也讓我撿了便宜。
我們校區2012的招生計划出來了，結果我們校區悲催到只招30個法語本科生，也就是說2012的本科孩子只有30人。不知道法語的怎么看，但對這個校區的未來，我是看不到什么希望。“坑爹啊...”
有趣的字符串匹配“提示”
對於T=abaabab，P=abab，從T的第一個字符開始匹配：
| a | b | a | a | b | a | b | |
| a | b | a | b | ||||
| 第一次匹配 | 1 | 2 | 3 | 0 |
可以看到，第四個字符已經匹配失敗了。此時如果采用最朴素的算法，也就是重新從第二字符開始匹配（不畫表了）。
KMP是這樣做的：既然上面第四個字符已經匹配失敗了，那么可以試着從已經匹配成功的前三個字符（即上面的“aba”）找到既是“aba”的后綴又是“aba”的前綴的字串，要求是此字串長度應該是所有滿足條件中最大的，暫且記為π(“aba”)。很顯然，π(“aba”)=1，因為
a b a
a b a
因此猜測從第三個字符開始匹配可能會成功（其實應該是從第四個字符開始匹配，因為π(“aba”)=1已經暗示第三個字符“a”匹配成功）（猜測，只是猜測而已）
| a | b | a | a | b | a | b | |
| 第一次匹配 | a | b | a | b | |||
| 第二次匹配 | a | b |
a | b |
好吧，結果是不成功，因為出現了T中的第四個字符匹配失敗的情況。不過可以發現，KMP算法沒有像朴素算法那樣，從T的第二個字符開始匹配，轉而從T的第三個字符開始匹配，那為什么不從第二個字符開始匹配呢，因為從T的第三個字符開始匹配才有可能是成功的。如果你認為（或者說你有足夠的證據證明）從第二字符開始匹配會成功，那么上面找“既前綴又后綴”的結果：
a b a
a b a
即π(“aba”)=2應該是成立的，很明顯不是。
好吧，這里不成功, 前面成功匹配的字符沒有, 因此 π(null)=0.這逼着從T的第四個字符開始匹配，也是不成功：
| a | b | a | a | b | a | b | |
| 第一次匹配 | a | b | |||||
| 第二次匹配 | a |
b | a | b |
於是匹配成功。你將看到KMP也是這么做的，關鍵是如何計算上面的說的“既前綴又后綴”的結果——其實就是幫助匹配的輔助表。
KMP算法之道
問題定義：
字符串匹配問題：T=“www.daoluan.net/blog”，P=“daoluan”，問P是否在T中出現？答：是。
之前遇到的字符串匹配算法效率不是很看好，有限自動機之於最為朴素的窮舉法有一定的提高，但是初始化過程仍不樂觀，總體效率不高。奇葩的是，KMP算法初始化和匹配過程分別可以達到O(n)和O(m)，實在是神奇。本篇文章目的就是吃透KMP。縱觀KMP，它無非就基於三個核心的結論，吃透這個三個結論，將KMP踩在腳下。
KMP和有限自動機字符串匹配一樣，借助了一個輔助一維表，但KMP的輔助表計算時間在O(m)內。這個輔助表是關於匹配內容P的前綴表。
在提及這些結論之前，先允許我啰嗦一下：
對於字串P，(k)P表示長度k的P的前綴；P(k)表示長度為k的P的后綴。比如P=abcdef，(3)P=abc，P(3)=def。
π(q)表示P的前綴(q)P的最長后綴P(k)的長度（也就是k要取最大值）。比如：P=ababababca，π(8)即(8)P=abababab的最長后綴P(k)的長度，k最大為6，因為
abababab|ca
ababab|abca∴π(8)=6。
比如：匹配內容P=“daodaodaodaoluan”，那么關於P的前綴表 π(i) 即為：
P d a o d a o d a o d a o l u a n
π 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0
π(q)有了定義，π*(q)可以有。通常加“*”表示所有，在這里也是。π*(q)是一個集合，它的所有成員可以迭代求出：
π*(q)={k|(k)P是(q)P的后綴且k<q}
={π1(q)，π2(q)，π3(q)，π4(q)....}，其中πn(q)=π[πn-1(q)]。
比如：同樣對P=ababababca，求π*(8)， 有下圖結果（來自算法導論）：
所以π*(8)={0,2,4,6}。對於其他的 π*(q)值也是這樣計算。這里的涉及了很多的定義，務必看懂，下面的三個結論才看得下去。如果太急，直接忽視這里，看上面的“有趣的字符串匹配”。
假設已經得到了關於P的輔助表，
kmp()
m = strlen(P)
n = strlen(T)
π[m]
kmptab(π) //預處理輔助表
q = -1
for i=[0,n)
while q>0 && P[q+1]!=T[i]
q = π[q]
if P[q+1]==T[i]
q = q+1
if q = m
// 找到啦
q = π[q] //繼續剩余T的尋找
其中π[m]為輔助表。如果P[q+1]==T[i]能連續成立m次，那么可以找到T中的P。所以如果有輔助表的存在，匹配過程還是很容易理解的。
KMP 有三個結論，他們主要是用來計算輔助表的：
- π*(q)={k|(k)P是(q)P的后綴且k<q}。明顯.
- 如果π(q)>0，那么π(q)-1∈π*(q-1)。
∵π(q)=t，那么t<q，所以π(q)-1=t-1<q-1；
∵π(q)=t，∴(t)P是(q)P的后綴，（去掉(t)P和(q)P的最后一個字符）那么(t-1)P同樣也是(q-1)P的后綴；
根據結論一，得到 t-1∈π*(q-1)，π(q)-1∈π*(q-1)總能成立。
- 圖示結論
上面的圖中，如果匹配不成功, π 值會越來越小, 直到為0, 此時就需要重新從第一個字符開始匹配了.
上面的基礎就是為計算輔助表的。有了上面的結論：
kmptab(π)
m = strlen(P)
q = 0
π[0] = 0
for i=[1,m)
while q>0 && P[q]!=P[i] // 與當前字符不匹配的時候, 才需要縮小 π
q = π[q] //
if P[q]=P[i]
q = q + 1 // 與上圖中的做法一致
π[i] = q
實在是太短了。
KMP的復雜度
KMP的復雜度一時我也說不清楚，借助了算法導論和Matrix67的手筆才略有領悟。KMP用到了平攤分析。就上面的kmptab(π)函數，從q的值來說，q = π[q]操作只會使的q越來越小，但總能q>0，因為q = π[q]是根據輔助表來得到的，而輔助表中最小為0。P[q]=P[i]條件成立，能使得q+1，也就是說q只有在這里才增加。最壞的情況，q被增加m-1次。所以while循環內的操作最多被執行m-1次的。平攤一下就是O(1)了。所以加上for循環，kmptab的復雜度為O(m)。
kmp主程序也是用這種平攤分析方法。
補充：KMP匹配過程中利用輔助表跳過了無效的檢查，直接將檢查過程跳轉到將來可能成功匹配的字符上。
本文完 2012-06-14
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