第一章, 隨機事件

引言:

1. 確定性(必然):, 一定發生的事情, 或者一定不發生的事情
2. 隨機性(偶然): 可能發生的事情, 可能不發生的事情.
3. 統計規律: 根據對大量事情發生的統計,來找出其中的規律.

1.1: 隨機事件:

• 試驗: 觀察, 測量, 實驗
• 隨機試驗:
  • 在相同的情況下可重復
  • 結果不止一個
  • 無法預測結果, 用E表示
• 事件: 做試驗的每種結果叫事件,
• 隨機事件: 可能發生, 可能不發生, 用A,B,C表示
• 基本事件: 相對於實驗目的, 不能再分(不必再分)
• 復合事件: 由基本事件復合而成

1.2必然事件: 事情一定發生的事件, 用Ω表示

1.3不可能事件: 不可能發生的事件, 用Φ表示

樣本空間: 所有基本事件的集合, 用Ω表示

樣本點: 樣本空間的元素, 用ω表示

事件的集合表示: A= {2,4,6}

不可能事件: 空集, 用Φ表示

事件的關系: 

1. 包含: A包含於B, 事件A發生必然導致事件B發生就叫包含
   1. Φ 包含於A包含於Ω
2. 相等: A包含於B, B包含於A, 則說明 A=B
3. 並(和): A與B中至少有一個發生, 記作: A+B, or AUB 
4. 交(積): A和B公共的部分, 記作: A∩B, AB
5. 差: 去掉A和B的公共部分, A-AB

無線可列個: 按某種規律拍成一個序列

1. 自然數, 0,1,2,3,4...
2. 整數: 0.1,-1, 2,-2,3,-3...
3. 有理數: p/q, 　　　0.565656...  = 56/99
   1. 0.565656..=x                 
   2. 56.565656...=100x
   3. 2-1得: 56=99x, x=56/99

互不相容事件: A,B不同時發生,叫做互不相容事件　

• AB = Φ

對立事件: 事件A,B互不相容, 且AUB=Ω,  AB = Φ且A+B = Ω

1. Ã是A的逆, 
2. A-B=A-AB
3. 兩事件對立, 則一定是互不相容的
4. 互不相容適用於多個事件, 對立只適用於2個事件
5. 互不相容, 不能同時發生, 可以都不發生, 
6. 對立: 是又切僅有一個發生

完備事件組:

• A1,A2,A3,..,An兩兩互不相容, 且U_i=1 ⁿA_i = Ω
• 運算律:
  • 交換律: AUB = BUA, A∩B=B∩A
  • 結合律: (AUB)UC=AU(BUC), (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
  • 分配律: (AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C), (A∩B)UC=(AUC)∩(B∩C)
  • 對偶: AUB的逆 = A的逆 ∩ B的逆,    A∩B的逆=A的逆UB的逆

例1:A,B,C是試驗E的隨機事件:

1. A發生: A(BC是否發生, 不用care)
2. 只有A發生: AB^-C^- 
3. A,B,C恰有一個發生: AB^-C^-+A^-BC^-+A^-B^-C
4. A,B,C同時發生: ABC
5. A,B,C至少有一個發生: A+B+C
6. A,B,C至多有一個發生: A^-B^-C^- +AB^-C-+A^-BC-+A^-B^-C
7. 恰有兩個: ABC^-+AB^-C+A^-BC
8. 至少兩個: ABC^-+AB^-C+A^-BC+ABC(AB+BC+AC)

例2: 抽查產品不放回抽樣三次, A1,A2,A3第1,2,3次取合格產品

1. 三次都合格: A1A2A3
2. 至少一次合格: A1+A2+A3
3. 恰有兩次合格: A1A2A3^-+A1A2^-A3+A1^-A2A3

例3: 射擊打三槍, Ai, i=1,2,3..., 第i次擊中

1. A1+A2: 前兩次至少集中一次
2. A2-: 第二次未擊中
3. A1+A2+A3: 三次至少集中一次
4. A1A2A3: 三次全中
5. A2-A3=A2A3^-:第二次擊中, 第三次未中
6. (A1+A3)^-=A1^-∩A2^-: 一,三次未中
7. A1^-+A3^-:第一,三次至少一次未中

事件的概率:

• 概率的初等描述
• 概率: 可能性的大小: P(A)
• 性質: 
  • P(Ω)=1
  • P(Φ)=0
  • 0≤P(A)≤1

古典概型:

• 條件:
  • 有限個樣本點
  • 等可能性(每個樣本點出現的可能性一樣)
• P(A) = A的有利樣本點/Ω中樣本點總數=A中包含的基本事件數/基本時間總數
• 排列:
  • 不重復排列(無放回抽樣): 
    • 從n個不同的元素中, 取出不同m個, 排列, P_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m) = n!/(n-m)!, P₁₀⁵=10X9X8X7X6=10!/5!
• 全排列: Pnn = n(n-1)(n-2)...(3x2x1) = n!
  • P₂² = 2!, P₁¹=1!, 0!=1
  • 1!=1X0!, 0!=1, P₀⁰=0!=1, 0!=1
  • 5⁰=5^1-1=5¹/5¹=1
• 重復排列: 從n個元素中取出m個排列(有放回抽樣)
• 組合: 從n個不同元素中取出不同元素
  • C_n^m = P_n^m/m!=n(n-1)...(n-m+1)/m(m-1)...x2x1=n!/m!(n-m)!
  • C_n^m = C_n^(n-m)

 古典性質:

1. 非負性(0≤P(A)≤1)
2. 規范性: P(Ω)=1, P(Φ)=0
3. 有限可加: A1,A2,...An互不相容, P(A1+A2+...+An)=P(A1) + ...P(An)
4. 特點:
   1. 有限個結果
   2. 等可能性

幾何概型: 線段, 平面 立體

• P(A) = μ(G)/μ(Ω)
• 特性: 完全可加性

頻率與概率:n次試驗,時間A發生了m次, m/n就叫做頻率

• 非負性: 0≤ωn(A)≤A
• 規范性: ωn(Ω)=1, ωn(Φ)=0
可加性: A1,A2...Am不相容
• ωn(A1,12,...Am)=ωn(A1) + ...+ωn(Am)
• 頻率接近的一個穩定的值, 就叫做統計概率

公里化:

• 公理
  1. 非負: 0≤P(A)≤1
  2. 規范: P(Ω)=1
  3. 完全可加: A1,A2...An互不相容, P(A1,A2,...An) = P(A1) + P(A2) + ...P(An)
• 性質(加法): P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB)
  • A,B互不相容, P(A+B) = P(A)+ P(B)
  • 補充: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

條件概率: 假設Ω是樣本空間A,B兩個事件, P(B)>0, 在B已經發生的條件下A發生的概率, A對B的條件概率P(A|B)

• P(A): 無條件概率→樣本空間Ω
• P(A|B): 條件概率→B=Ω_B
• 條件概率的計算方法:
  • P(A|B)=n_AB/n_B
  • P(A|B)=(n_AB/n)/(n_B/n)
• 乘法公式:
  • 兩個事件: P(AB)=P(B)P(A|B), P(AB)=P(A)P(B|A)
  • 三個事件: P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB)
  • 多個事件: P(A₁,A₂,...A_n)=P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁A₂)...P(A_n|A₁,A₂...A_n-1) 

全概率公式:

• 定理1.2: A1,A2,...An是E的完備事件組, P(Ai)>0, P(B)=Σ_i=1ⁿP(Ai)P(B|Ai)

貝葉斯公式:

• P(A_k|B) = [P(A_k)P(B|A_k)]/[Σ_i=1ⁿP(A_i)P(B|A_i)]=P(A_kB)/P(B)
  • P(Ai): 先驗
  • P(Ai|B): 后驗

事件的獨立性: 事件A的概率不受B發生與否的影響

• 事件A對事件B對立, 事件B對於事件A也獨立
• P(A|B) = P(A)
  • 定理1.4: 當P(A)>0, P(B)>0, 且A,B相互獨立→P(AB)=P(A)P(B)(經常常用)
• 定理1.5:
  • A,B獨立, A與B^- A^-與B, A^-與B^-獨立
  • P(A)=0或P(A)=1, A與任意事件獨立
• A,B,C相互獨立: 

1. P(AB) = P(A)P(B)
2. P(BC) = P(B)P(C)
3. P(AC) = P(A)P(C)
4. P(ABC) = P(A)P(B)P(C)

• P(A|B)+P(A^-|B^-)=1
• P(A|B^-)+P(A^-|B^-)=1

伯努利模型: 

• 獨立實驗序列: E1,E2,E3...,En 彼此相互獨立(不同實驗做n次,每次之間相互獨立)
• n重獨立實驗: E1,E2,E3...En  獨立(一個實驗做n次, 每次之間是相互獨立的)
• 伯努利實驗: 實驗結果只有兩種可能, (類似二分類的問題)
• n重伯努利: n次實驗, 每次都是獨立的, 結果只有兩種可能那個性
• 定理: 事件A發生的概率是P, (0<p<1), Ä=1-p, n重伯努利中A發生k次:
  • P_n(k)=C_n^kP^k(1-p)^n-k      (二項概率公式)