數制
一、 十進制
進位規則是“逢十進一”。任意一個n位整數、m位小數的十進制可表示為：
其中
ki－稱為數制的系數，表示第i位的系數，十進制ki的取值為0 ~ 9十個數， i 取值從 （n－1）～0的所有正整數到－1～－m的所有負整數
10i－表示第i位的權值，10為基數，即采用數碼的個數
n、m－為正整數， n為整數部分的位數， m為小數部分的位數
例如
(249.56)10＝2×102＋ 4×101＋ 9×100+ 5×10–1＋ 2×10－2
二、 二進制
進位規則是“逢二進一”，任意一個n位整數、m位小數的二進制可表示為
其中
ki－取值只有兩個數碼：0和1
2i－為二進制的權，基數為2
n、m－為正整數
如（11011.101)2=1×24 +1×23 +0×22 +1×21 +1×20 +1×2－1+0×2-2 +1×2－3=（27.625)10
三、八進制
進位規則是“逢八進一”，其基數為8。任意一個n位整數、m位小數的八進制可表示為
其中
ki－取值有8個數碼：0～7
8i－為八進制的權，基數為8
n、m－為正整數
如（13.74)8=1×81+3×80 +7×8－1+4×8-2 =（11.9375)10
四、十六進制
進位規則是“逢十六進一”，其基數為16。任意一個n位整數、m位小數的十六進制可表示為
其中
ki－取值有16個數碼：0～9、A（10）、 B（11）、C（12）、D（13）、E（14）、 F（15）
16 i－為十六進制的權，基數為16
n、m－為正整數
（F9.1A)16=15×161+9×160 +1×16－1+10×16-2 = （249.1015625)10
一個數碼的進制表示，可用下標，如（N）2表示二進制； （N）10表示十進制； （N）8表示八進制， （N）16表示十六進制
有時也用字母做下標，如（N）B表示二進制，B－Binary；（N）D表示十進制，D－Decimal；（N）O表示八進制，O－Octal；（N）H 表示十六進制，H－Hexadecimal；
下表為0～15個數碼的不同進制表示
| D |
B |
O |
H |
D |
B |
O |
H |
| 0 |
0000 |
00 |
0 |
8 |
1000 |
10 |
8 |
| 1 |
0001 |
01 |
1 |
9 |
1001 |
11 |
9 |
| 2 |
0010 |
02 |
2 |
10 |
1010 |
12 |
A |
| 3 |
0011 |
03 |
3 |
11 |
1011 |
13 |
B |
| 4 |
0100 |
04 |
4 |
12 |
1100 |
14 |
C |
| 5 |
0101 |
05 |
5 |
13 |
1101 |
15 |
D |
| 6 |
0110 |
06 |
6 |
14 |
1110 |
16 |
E |
| 7 |
0111 |
07 |
7 |
15 |
1111 |
17 |
F |
不同數制間的轉換
數制轉換：不同進制的數碼之間的轉換叫做數制轉換
一、 二進制數、八進制數和十六進制數轉換成十進制數
即將二進制數、八進制數和十六進制數轉換成十進制數，方法是將二進制數、八進制數和十六進制數按下列公式進行展開即可
例如：
二、十進制數轉換成二進制數：
即將十進制數轉換成二進制數，原則是“整數除2，小數乘2
a. 十進制的整數轉換：
將十進制的整數部分用基數2去除，保留余數，再用商除2，依次下去，直到商為0為止，其余數即為對應的二進制數的整數部分
b. 十進制的小數轉換
將小數用基數2去乘，保留積的整數，再用積的小數繼續乘2，依次下去，直到乘積是0為或達到要求的精度，其積的整數部分即為對應的二進制數的小數部分
例 將（173.39)D轉化成二進制數,要求精度為1%
解：其過程如下
a. 整數部分
即(173)D=(10101101) B
b. 小數部分
由於精度要求為1％，故應該令2-m≤1% 取對數可得2-m≤10-2 ;2m≥100;mlg102≥lg10100;m≥6.6
取m＝7 滿足精度要求，過程如下
即(0.39)D=(0.0110001) B
故（173.39)D=(10101101.0110001)B
依此類推，對於十進制轉換成其它進制，只要把基數2換成其它進制的基數即可。
三、 二進制轉換成八進制和十六進制
方法：由於3位二進制數可以有8個狀態，000~111，正好是8進制，而4位二進制數可以有16個狀態，0000～1111，正好是16進制，故可以把二進制數進行分組。八進制三位分為一組，不夠補零，十六進制四位分為一組。
注：若將八進制或十六進制轉換成二進制，即按三位或四位轉成二進制數展開即可。
提醒：若要將十進制轉換成八進制或16進制，可先轉換成二進制，再分組，轉換成八進制或十六進制。
二進制的算術運算
二進制算術運算的特點
當兩個二進制數碼表示兩個數量的大小，並且這兩個數進行數值運算，這種運算稱為算術運算。其規則是“逢二進一”、“借一當二”。算術運算包括“加減乘除”，但減、乘、除最終都可以化為帶符號的加法運算。
如兩個數1001和0101的算術運算如下
反碼、補碼和補碼運算
一、原碼：
在用二進制數碼表示一個數值時，其正負是怎么區別的呢？二進制數的正負數值的表述是在二進制數碼前加一位符號位，用“0”表示正數，用“1”表示負數，這種帶符號位的二進制數碼稱為原碼。
例如：＋17的原碼為010001，－17的原碼為110001
二、反碼
反碼是為了在求補碼時不做減法運算。二進制的反碼求法是：正數的反碼與原碼相同，負數的原碼除了符號位外的數值部分按位取反，即“1”改為“0”，“0”改為“0”。
例如＋7和－7的原碼和補碼為：
＋7的原碼為0 111，反碼為0 111
－7的原碼為1 111，反碼為1 000
注：0的反碼有兩種表示，＋0的反碼為0 000，－0的反碼為1 111
三、補碼：
當做二進制減法時，可利用補碼將減法運算轉換成加法運算。在將補碼之前先介紹模（或模數）的概念
1.模（模數）的概念：
把一個事物的循環周期的長度，叫做這個事件的模或模數。
如一年365天，其模數為365；鍾表是以12為一循環計數的，故模數為12。十進制計數就是10個數碼0～9，的循環，故模為10。
以表為例來介紹補碼運算的原理：對於圖所示的鍾表
當在5點時發現表停在10點，若想撥回有兩種方法：
a.逆時針撥5個格，即10－5＝5，這是做減法。
b.順時針撥七個格，即10＋7＝17，由於模是12，故1相當於進位12，1溢出，故為7格，也是17－12＝5，這是做加法。
由此可見10＋7和10－5的效果是一樣的，而5＋7＝12，將故7稱為－5的補數，即補碼，也可以說減法可以由補碼的加法來代替。
2.補碼的表示
正數的補碼和原碼相同，負數的補碼是符號位為“1”，數值位按位取反加“1”，即“反碼加1”。
例如： 原碼 反碼 補碼
+7 0 111 0 111 0 111
-7 1 111 1 000 1 001
注意：
1.采用補碼后，可以方便地將減法運算轉換成加法運算，而乘法和除法通過移位和相加也可實現，這樣可以使運算電路結構得到簡化；
2.正數的補碼既是它所表示的數的真值，負數的補碼部分不是它所示的數的真值。
3.與原碼和反碼不同，“0”的補碼只有一個，即（00000000）B
4.已知原碼，求補碼和反碼：正數的原碼和補碼、反碼相同；負數的反碼是符號位不變，數值位取反，而補碼是符號位不變，數值位取反加“1”。
如：原碼為10110100，其反碼為11001011，補碼為1100100。
5.已知補碼，求原碼：正數的補碼和原碼相同；負數的補碼應該是數值位減“1”再取反，但對於二進制數來說，先減“1”取反和先取反再加“1”的結果是一樣的。故由負數的補碼求原碼就是數值位取反加“1”。
如已知某數的補碼為（11101110）B，其原碼為（10010010）B
6.如果二進制的位數為n，則可表示的有符號位數的范圍為（－2n～ 2n－1－1），如n＝8，則可表示(－128～127)，故在做加法時，注意兩個數的絕對值不要超出它所表示數的范圍。
4位帶符號位二進制代碼的原碼、反碼和補碼對照表
| 十進制數 |
原碼 |
反碼 |
補碼 |
十進制數 |
原碼 |
反碼 |
補碼 |
| ＋7 |
0111 |
0111 |
0111 |
－1 |
1001 |
1110 |
1111 |
| ＋6 |
0110 |
0110 |
0110 |
－2 |
1010 |
1101 |
1110 |
| ＋5 |
0101 |
0101 |
0101 |
－3 |
1011 |
1100 |
1101 |
| ＋4 |
0100 |
0100 |
0100 |
－4 |
1100 |
1011 |
1100 |
| ＋3 |
0011 |
0011 |
0011 |
－5 |
1101 |
1010 |
1011 |
| ＋2 |
0010 |
0010 |
0010 |
－6 |
1110 |
1001 |
1010 |
| ＋1 |
0001 |
0001 |
0001 |
－7 |
1111 |
1000 |
1001 |
| 0 |
0000 |
0000 |
0000 |
－8 |
1000 |
1111 |
1000 |
二進制編碼
三個術語
數碼：代表一個確切的數字，如二進制數，八進制數等。
代碼：特定的二進制數碼組，是不同信號的代號，不一定有數的意義。
編碼：n 位二進制數可以組合成2n 個不同的信息，給每個信息規定一個具體碼組，這種過程叫編碼。 數字系統中常用的編碼有兩類，一類是二進制編碼，另一類是 二-十進制編碼。另外無論二進制編碼還是二－十進制編碼，都可分成有權碼（每位數碼代表的權值固定）和無權碼。
十進制編碼
用4位二進制代碼表示十進制的0～9個數碼，即二－十進制的編碼。 4位二進制代碼可以有0000～1111十六個狀態，則表示0～9十個狀態可以有多種編碼形式，其中常用的有8421碼、余3碼、2421碼、5211碼、余3循環碼等，其中8421碼、2421碼、5211碼為有權碼，即每一位的1都代表固定的值。
幾種編碼形式
說明：
1. 8421碼:又稱BCD碼，是最常用的十進制編碼。其每位的權為8、4、2、1，如（0101）2＝1×4＋1×1＝5
2. 余3碼不是有權碼，由於它按二進制展開后十進制數比所表示的對應的十進制數大3。如0101表示的是2，其展開十進制數為5，故稱為余3碼。采用余3碼的好處是：利用余3碼做加法時，如果所得之和為10，恰好對應二進制16，可以自動產生進位信號。如0110（3）＋1010（7）＝1111（10）；另外0和9、1和8、2和7…是互為反碼，這對於求補很方便。
3. 2421碼是有權碼，其每位的權為2、4、2、1，如(1100)2=1×2＋1×4＝6，與余3碼相同0和9、1和8、2和7…是互為反碼。另外當任何兩個這樣的編碼值相加等於9時，結果的4個二進制碼一定都是1111。
4. 5211碼也是有權碼，其每位的權為5、2、1、1，如(0111)2=1×2＋1×1＋1×1＝4，主要用在分頻器上。
5. 余3循環碼是無權碼，它的特點是相鄰的兩個代碼之間只有一位狀態不同。這在譯碼時不會出錯（競爭－冒險）
二進制編碼：
它包括自然碼和循環碼（格雷碼）
自然碼：有權碼，每位代碼都有固定權值，結構形式與二進制數完全相同，最大計數為2n－1，n為二進制數的位數。
循環碼：也叫格雷碼，它是無權碼，每位代碼無固定權值，其組成是格雷碼的最低位是0110循環；第二位是00111100循環；第三位是0000111111110000循環，以此類推可以得到多位數的格雷碼。格雷碼的特點是任何相鄰的兩個碼組中，僅有一位代碼不同，抗干擾能力強，主要用在計數器中。
