前言
在 oiwiki 的進制位下面看到了平衡三進制。這是一種有趣的進制。因為 -1 的引入，把一個平衡三進制的所有數位上的數取相反數，就可以得到這個數的相反數。
介紹
普通的三進制書位上的數可以是0，1，2，而平衡三進制則是1，0，-1，下文用 Z 來表示 -1。
轉化成十進制的計算方法和其他進位制是一樣的，∑ai*3i-1，而十進制轉化為平衡三進制，則需要先轉化為普通三進制，然后按照如下步驟從低位到高位操作。
1，遇到 0 和 1，直接跳過
2，遇到 2，當前位改為 Z，下一位 +1
3，遇到 3，當前位改為 0，下一位 +1
討論
顯然，按照這樣的操作步驟，一個十進制能且僅能得到一個平衡三進制數。但是，是否存在兩個不同的平衡三進制數，使得這兩個數可以轉化為同一個十進制數呢？
不妨設有兩個平衡三進制數 A B。
A 的 第 i 位為 ai，B 的第 i 位為 bi
顯然，A 和 B 不同，當且僅當存在一個 i，使得 ai ≠ bi
顯然，1*3i-1 > ∑2*3i-2
顯然，1*3i > 2*3i-1
於是，也就是說，如果第 i 位不同，單靠 1 -> i-1 這些位上的數字不能與之抵消（太小了），單靠 i+1 及以上的位數也不能與之抵消（太大了）。
於是考慮結合起來，使得 i 左右兩邊對第 i 位的影響盡量接近於 1^3i-1 或者 2^3i-1 。
先取一個 1^3i-1 發現過大，考慮用低位減小，越小越好，於是取 ∑2*3i-2 。
可以發現，最后得到的結果， 1^3i-1 - ∑2*3i-2 = 2^3i-1 ^ 1。還是太大了。
以上過程有些抽象，這里有一個圖示
顯然，圖中的 3i 和 3i-2 不肯能組合出為 1^3i-1 或 2^3i-1
也就是說，當 ai ≠ bi 不可能通過其他位數的改變彌補 ai - bi ，使得 A = B。
也就是說，當 A ≠ B，A 和 B轉化成的十進制數不可能相等。
延伸
既然有平衡三進制，是否平衡四進制？（平衡二進制怎么做？如果使用 0 和 -1，就和二進制沒有本質上的區別的，還是需要符號位來進行符號的判斷，因此不討論）
平衡四進制怎么分配？或許是1，0，-1，-2，或許是2，1，0，-1。
以1，0，-1，-2 來考慮。用 Z 代表 -1，用 Ｔ 代表 -２。
仿照平衡三進制，既然要使得位數都再 1，0，-1，-2 之間，因此在四進制中
遇到4，令當前位為0，下一位+1
遇到 3，令當前位為 -1，下一位+1
遇到 2，令當前位 為-2，下一位+1
遇到 1，0，直接跳過
按照這個規則
試着轉化79
轉化為四進制 1033
按步驟操作 104Z 110Z
試着轉化 103
轉化為四進制 1213
按步驟操作 102Z 11TZ
可見平衡四進制是可以實現的！
嗎？
我們會發現，平衡四進制表示的數域中，正數域和負數域不對應。而且，也不能對每個數進行取相反數的操作。如果我們選用 1，0，-1，-2，那么范圍就是 -42->21。那么，得到 22->42 的數字就有兩種方法。第一種，把 -42 -> -22 的 平衡四進制數 的 所有位數上的數字 取相反數，或者進到更高的位數來表示。可見平衡四進制並不“平衡”，它數域不對稱，而且和十進制不是一一映射。
相比之下，平衡五進制則更為簡單，更為對稱，更為美觀，只需要在 平衡三進制的基礎上加上 -2 和 2 即可。運算方法也很好推：
遇 5 化 0，下位 +1
遇 4 化 Z，下位 +1
遇 3 化 T，下位 +1
遇到0，1，2直接跳過
顯然平衡五進制和十進制一一對應，而且數域對稱，網上也有相關的資料。
百度百科平衡五進制 https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%B3%E8%A1%A1%E4%BA%94%E8%BF%9B%E5%88%B6/53359940?fr=aladdin
思考
平衡進制和普通進制有什么區別？我們可以發現，位數相同的 n 進制數，可以表示的數字的集合大小是一樣的。
比如三位數的三進制和平衡三進制，三進制的范圍是 0->26，平衡三進制的范圍是 -13->13，集合元素個數均為 27 個。
只有當 n 是奇數的時候，我們可以構造出美麗的平衡 n 進制。
三進制還有什么優秀的性質？還有什么應用場景？或許它可以改變世界，又或許它只是一個有趣的數學游戲。而這一切都充滿未知。