簡介
我們來看一個簡單的例子。
繞y軸旋轉\(30^o\),三種表示。
- 矩陣 ： \(R_y(30^o)=\begin{bmatrix}\cos 30^o & 0 & -\sin 30^o \\0 & 1 & 0 \\\sin 30^o & 0 & \cos 30^o \end{bmatrix}\)
- 歐拉角 ：
- \(Heading(Yaw/y)\) =30
- \(pitch(x)\) =0
- \(bank(Roll/z)\) =0
- 四元數 : [0.9659 (0 0.2588 0)]
我們先要了解這三種旋轉方式的優缺點：
| 任務/性質 | 旋轉矩陣 | 歐拉角 | 歐拉角 |
|---|---|---|---|
| 在坐標系間(物體和慣性)旋轉點 | 能 | 不能（必須轉換到矩陣） | 不能（必須轉化到矩陣） |
| 連接或增量旋轉 | 能,但經常比四元數慢,小心矩陣蠕變的情況 | 不能 | 能，比矩陣快 |
| 插值 | 基本上不能 | 能，但可能遭遇萬向鎖或其他問題 | Slerp,提供了平滑插值 |
| 易用程度 | 難 | 易 | 難 |
| 在內存或文件存儲 | 9個數 | 3個數 | 4個數 |
| 對給定方位的表達方式是否唯一 | 是 | 不是,對同一方位有無數多種方法 | 不是,有兩種方法,他們互相為互 |
| 可能導致非法 | 矩陣蠕變 | 任意三個數能構成合法的歐拉角 | 可能會出現誤差累計,從而產生非法的四元數 |
矩陣
平面二維旋轉
如下圖，XY坐標系中，向量OP旋轉β角度到了OP'的位置：
根據三角函數關系，可以列出向量OP與OP'的坐標表示形式：
\(\begin{cases} & x = |OP|*\cos \alpha\\ & y=|OP|*sin \alpha \end{cases}\)
\(\begin{cases} & x^\prime = |OP|*\cos (\alpha+\beta) \\ & y^\prime=|OP|*sin (\alpha+\beta) \end{cases}\)
對比上面個兩個式子，將第2個式子展開：
\(\begin{cases} & x^\prime = |OP|*\cos (\alpha+\beta) =|OP|*(\cos\alpha*\cos\beta-\sin\alpha*\sin\beta)=x*\cos\beta-y*\sin\beta \\ & y^\prime=|OP|*sin (\alpha+\beta) =|OP|*(\cos\alpha*\sin\beta+\sin\alpha*\cos\beta)=x*\sin\beta+y*\cos\beta \end{cases}\)
用矩陣形式重新表示為：
\(\begin{bmatrix}x^\prime \\y\prime \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\cos\beta & -\sin\beta\\ \sin\beta & \cos\beta\end{bmatrix}* \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\)
這就是二維旋轉的基本形式，中間的矩陣即二維旋轉的旋轉矩陣，坐標中的某一向量左乘該矩陣后，即得到這個向量旋轉β角后的坐標。
三維旋轉
三維旋轉可借助二維旋轉來理解，由於三維空間中可以任意軸旋轉，為方便分析與使用，只考慮繞X、Y、Z軸的旋轉。
繞Z軸
參照上面的圖，添加一個Z軸，則上面的二維旋轉實際上就是繞Z軸的三維旋轉
照搬上面的推導公式，並添加Z坐標的變換關系(實際是沒有變)，然后改寫成矩陣形式，紅色方框即為繞Z軸的旋轉矩陣。
\(\begin{cases} x^\prime=x*\cos\beta-y*\sin\beta \\y^\prime=x*\sin\beta+y*\cos\beta \\z^\prime=z \end{cases}\)
\(\begin{bmatrix} x^\prime \\y^\prime \\z^\prime \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos\beta & -\sin\beta & 0 \\ \sin\beta & \cos\beta & 0 \\0 & 0 & 0 \end{bmatrix}* \begin{bmatrix} x \\y \\z \end{bmatrix}\)
繞Y軸
繞Y軸旋轉同理，這里直接改變坐標軸的符號表示，注意坐標順序要符合右手系，我這里用顏色區分了不同的軸。最終的矩陣形式要進一步改寫成XYZ的順序。紅色方框即為繞Y軸的旋轉矩陣。
\(\begin{cases} x^\prime=z*\sin\beta+x*\cos\beta \\y^\prime=y \\z^\prime=z*\cos\beta-x*\sin\beta \end{cases}\)
\(\begin{bmatrix} x^\prime \\y^\prime \\z^\prime \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos\beta & 0 & \sin\beta \\ 0 & 1 & 0 \\-\sin\beta & 0 & \cos\beta \end{bmatrix}* \begin{bmatrix} x \\y \\z \end{bmatrix}\)
繞X軸
參照繞Y軸的推導，可以得到繞X軸的結果。紅色方框即為繞X軸的旋轉矩陣。
\(\begin{cases} x^\prime=x \\y^\prime=y*\cos\beta-z*\sin\beta \\z^\prime=y*\sin\beta+z*\cos\beta \end{cases}\)
\(\begin{bmatrix} x^\prime \\y^\prime \\z^\prime \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\beta & -\sin\beta \\ 0 & \sin\beta & \cos\beta \end{bmatrix}* \begin{bmatrix} x \\y \\z \end{bmatrix}\)
繞任意方向旋轉
平凡的我們是不需要知道的。
歐拉角
四元數
四元數記法
\(q=\left[ w , v \right]\) 其中\(v\)向量表示。
\(q=\left[ w , (x, y ,z) \right]\) 其中\(x,y,z\)都是復數。
\(q=[\cos{\theta/2} ,(\sin{\theta/2})n_x,(\sin{\theta/2})n_y,(\sin{\theta/2})n_z]\) 其中\(n\)表示任意向量
復數
在介紹四元數與 3D 旋轉之間的關系之前，我們先來討論一下復數（Complex
Number）的一些性質以及它與 2D 旋轉之間的關系．四元數的很多性質在很
多層面上都與復數非常類似，所以理解復數的一些性質會對理解四元數非常
有幫助．
復數表示形式：\(z=a+bi\)
我們可以用向量來表示這個復數：\(\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}\)
在平面上我們表示為：R𝑒 代表它的實部，縱坐標 𝐼𝑚 代表它的虛部：
兩個復數\(z_1=a+bi,z_2=c+di\)相乘：
\(z_1z_2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2\)
因為\(i^2=-1\)這可以進一步簡化為:
\(z_1z_2=ac-bd+adi+bci=ac-bd+(bc+ad)i\)
如果仔細觀察你就能發現，復數相乘的結果其實也是一個矩陣與向量相乘的
結果，也就是說：
\(z_1z_2=ac-bd+(bc+ad)i=\begin{bmatrix}a & -b \\b & a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c \\ d \end{bmatrix}\)
右側\(\begin{bmatrix}c \\ d \end{bmatrix}\)是用向量的形式來表示的 \(z_2\)。
左側\(\begin{bmatrix}a & -b \\b & a \end{bmatrix}\)則是\(z_1\)的矩陣。
我們可以發現，復數相乘這個運算，其實是與這個\(\begin{bmatrix}a & -b \\b & a \end{bmatrix}\)矩陣所代表的變換是等價的。
復數與復數的相乘也可以表示為矩陣的相乘：
\(z_1z_2=\begin{bmatrix}a & -b \\b & a \end{bmatrix}\begin{bmatrix}c & -d \\d & c \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}ac-bd & -(bc+ad) \\bc+ad & ac-bd \end{bmatrix}\)
除此之外，我們來看一下一些特殊復數的矩陣形式：
\(I=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=1\) (a=1,b=0)
\(i=\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) (a=0,b=1)
如果我們嘗試對它進行平方，可以發現：
\(i^2=i*i=\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}=-I=-1\)
復數的模長與共軛:
在進行下一步的討論之前，我們先定義一下復數的模長（Magnitude）．如
果 \(𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖\)，那么它的模長為:
\(||z||=\sqrt{a^2+b^2}\)
接下來，我們定義復數的共軛（Conjugate）．如果 \(𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖\)，那么它的共
軛:
\(\overline{z}=a-bi\)
復數相乘與 2D 旋轉
現在，我們回到之前的話題，既然與復數的相乘代表着\(\begin{bmatrix}a & -b \\b & a \end{bmatrix}\)矩陣所作出的變換，那這種變換代表着什么呢？
實際上，如果我們對這個矩陣進行一些變形，這個問題就很容易解決了
\(\begin{bmatrix}a & -b \\b & a \end{bmatrix}=\sqrt{a^2+b^2}\begin{bmatrix} \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} & \frac{-b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} & \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{bmatrix}\)
我們將矩陣中每一個元素都除以了模長\(||z||=\sqrt{a^2+b^2}\)並將這一項提到了矩陣外面．經過這一變換，我們只需要觀察一下復平面就能夠解答之前的問題了：
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