快速選擇算法（找到第k個數字）

　　在一個給定的亂序的序列中找到第k個數字，可能會想到先排序，然后輸出第k個數。這種方法簡單粗暴，時間復雜度為O(nlogn)。

　　還有一種方法是快速選擇，它的思想和快速排序很相似。就是先選擇一個數x，然后把這個序列分成左右兩邊，其中左邊的所有的數都<=x，右邊的數都>=x。然后比較左邊數字的個數leftNum與k的大小。如果k <= leftNum，說明我們要找到第k個數在調整后的序列的左邊那部分；否則就是在右邊的那部分。然后再用相同的方法遞歸那部分來找到第k個數。

　　我們在這個序列中隨便找到一個數x，接下來和快速排序一樣，把這個序列調整為左邊的部分的數都<=x，右邊部分的數都>=x。

　　其中指針j就為划分左右兩邊的下標位置，j的左邊（包括j這個位置）就是左部分，右邊就是右部分。

　　接下來計算左邊部分元素的個數leftNum = j - left + 1，與k進行比較：

• 如果k <= leftNum，說明我們要找的第k個數就在左邊部分，遞歸去在左邊部分找第k個數，尋找序列的下標范圍是[left, j]；
• 否則如果k > leftNum，說明我們要找的第k個數在右邊部分，這時應該是遞歸去在右邊部分找第k - leftNum個數，相應的尋找序列的下標范圍應該為[j + 1, right]。

　　快速選擇算法的時間復雜度為O(n)。

　　可以試想假設序列有n個元素，開始的第一次尋找次數為n，然后把序列分成左右兩部分，有相關證明兩邊的期望大小各為為n/2，我們要在其中的一部分找。然后同樣的方法又分成兩部分，為n/4。以此類推，所以有

\[n + \frac{n}{2} + \frac{n}{4} + ... = n (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ...) = n\lim_{m->\infty }\sum_{i = 0}^{m} \frac{1}{2^{i}} = 2n\]

　　所以時間復雜度就為O(n)了。

　　相應的代碼就通過一道模板題來給出吧。

 

786. 第k個數

給定一個長度為 n 的整數數列，以及一個整數 k，請用快速選擇算法求出數列從小到大排序后的第 k 個數。

輸入格式

第一行包含兩個整數 n 和 k。

第二行包含 n 個整數（所有整數均在 1∼10⁹ 范圍內），表示整數數列。

輸出格式

輸出一個整數，表示數列的第 k 小數。

數據范圍

1≤n≤100000,
1≤k≤n

輸入樣例：

5 3
2 4 1 5 3

輸出樣例：

3

 　　AC代碼如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

int solve(int *a, int left, int right, int k) {
    if (left == right) return a[left];      // left == right，說明只有一個數字，這個數字就是我們要找到的第k個數
    int x = a[left + right >> 1], i = left - 1, j = right + 1;
    while (i < j) {
        while (a[++i] < x);
        while (a[--j] > x);
        if (i < j) swap(a[i], a[j]);
    }
    
    int leftNum = j - left + 1;
    if (k <= leftNum) return solve(a, left, j, k);
    else return solve(a, j + 1, right, k - leftNum);
}

int main() {
    int n, k;
    scanf("%d %d", &n, &k);
    int a[n];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", a + i);
    }
    printf("%d", solve(a, 0, n - 1, k));
    
    return 0;
}

 

參考資料

　　AcWing 786. 第k個數：https://www.acwing.com/video/228/