第一章_基礎_1.2.1數學基礎_向量運算

基礎夯實

• 數學基礎

  • 1.向量運算

    • 向量的定義：
      向量是有大小和方向的有向線段
      向量表示:三維(a_x,a_y,a_z)二維(a_x,a_y)...
      向量描述的位移：能夠被認為是與軸平行的位移序列
    • 向量與標量
      向量：有大小有方向的有向線段
      標量：只有大小沒有方向
    • 向量和點
      向量：沒有固定位置，有實際大小和方向
      點：有固定位置，沒有實際大小和方向
      聯系：點可以看做是從原點出發的向量
    • 零向量
      大小：0
      方向：沒有
    • 標量和向量的計算：
      加減：無
      乘除：有，每個分量分別於標量相乘或相除
      幾何意義：以標量的大小縮放向量，負值則方向相反
    • 向量和向量的計算
      • 加減法：\((a_x , a_y) \pm (b_x , b_y)=(a_x \pm b_x , a_y \pm b_y)\)
        • 幾何意義：平行四邊形法則
      • 點積 dot：
        \((a_x , a_y ,a_z)\cdot(b_x ,b_y,b_z)=a_x*b_x+a_y*b_y+a_z*b_z\)
        \(\vec a \cdot \vec b=\vec b \cdot \vec a\)
        \(\vec a \cdot \vec b =|\vec a||\vec b|\cos{\theta}\)
        • 幾何意義：
          • 點乘結果越大，夾角越小，兩個向量越接近,點乘結果也越接近於|a|*|b|
            \(\vec a \cdot \vec b > 0, 0^{\circ}\leq \theta<90^{\circ}\),a,b方向基本相同
            \(\vec a \cdot \vec b = 0, \theta\leq 90^{\circ}\),a,b正交
            \(\vec a \cdot \vec b < 0, 90^{\circ}\leq \theta<180^{\circ}\),a,b方向基本相反
          • 投影：向量a在向量b上投影的長度等於\(|\vec a|*\cos{\theta}\)
        • 蘭伯特光照模型:\(0.5*\vec{N} \cdot \vec{L}+0.5\)
      • 叉積 cross [不符合交換律]：
        • 計算公式：\( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1z_2-z_1y_2 \\ z_1x_2-x1z_2 \\ x_1y_2-y_1x_2 \end{bmatrix} \)
          \(||\vec a\times \vec b||=||\vec a||||\vec b||\sin{\theta}=\vec a \vec b構成的平行四邊形的面積\)
        • 幾何解釋：叉乘得到的向量垂直於原來的兩個向量

        • 右手定理

        

        • 叉乘向量模長的幾何意義

          • \(||a \times b||=||a||*||b||*sin(\theta)\)
          • 幾何意義為a,b向量構成的平行四邊形的面積
            
    • 向量的其他公式
      • 向量的模長：\(\sqrt{a_x^2 + a_y^2}\)，length(float2(x,y)|float3(x,y,z)|...)
      • 單位向量：
        向量大小為1：\(v_{norm}=\frac {v}{||v||},v\neq 0\)，normalize(n)
      • 歐式距離：
        三維空間：\(距離(\vec a,\vec b)=||\vec b-\vec a||=\sqrt{(b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2+(b_z-a_z)^2}\)
        二維空間: \(距離(\vec a,\vec b)=||\vec b-\vec a||=\sqrt{(b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2}\)

  • 2.矩陣運算

  • 3.MVP矩陣推導

  • 4.傅里葉變換

  • 5.其他