第一章_基础_1.2.1数学基础_向量运算

基础夯实

• 数学基础

  • 1.向量运算

    • 向量的定义：
      向量是有大小和方向的有向线段
      向量表示:三维(a_x,a_y,a_z)二维(a_x,a_y)...
      向量描述的位移：能够被认为是与轴平行的位移序列
    • 向量与标量
      向量：有大小有方向的有向线段
      标量：只有大小没有方向
    • 向量和点
      向量：没有固定位置，有实际大小和方向
      点：有固定位置，没有实际大小和方向
      联系：点可以看做是从原点出发的向量
    • 零向量
      大小：0
      方向：没有
    • 标量和向量的计算：
      加减：无
      乘除：有，每个分量分别于标量相乘或相除
      几何意义：以标量的大小缩放向量，负值则方向相反
    • 向量和向量的计算
      • 加减法：\((a_x , a_y) \pm (b_x , b_y)=(a_x \pm b_x , a_y \pm b_y)\)
        • 几何意义：平行四边形法则
      • 点积 dot：
        \((a_x , a_y ,a_z)\cdot(b_x ,b_y,b_z)=a_x*b_x+a_y*b_y+a_z*b_z\)
        \(\vec a \cdot \vec b=\vec b \cdot \vec a\)
        \(\vec a \cdot \vec b =|\vec a||\vec b|\cos{\theta}\)
        • 几何意义：
          • 点乘结果越大，夹角越小，两个向量越接近,点乘结果也越接近于|a|*|b|
            \(\vec a \cdot \vec b > 0, 0^{\circ}\leq \theta<90^{\circ}\),a,b方向基本相同
            \(\vec a \cdot \vec b = 0, \theta\leq 90^{\circ}\),a,b正交
            \(\vec a \cdot \vec b < 0, 90^{\circ}\leq \theta<180^{\circ}\),a,b方向基本相反
          • 投影：向量a在向量b上投影的长度等于\(|\vec a|*\cos{\theta}\)
        • 兰伯特光照模型:\(0.5*\vec{N} \cdot \vec{L}+0.5\)
      • 叉积 cross [不符合交换律]：
        • 计算公式：\( \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1z_2-z_1y_2 \\ z_1x_2-x1z_2 \\ x_1y_2-y_1x_2 \end{bmatrix} \)
          \(||\vec a\times \vec b||=||\vec a||||\vec b||\sin{\theta}=\vec a \vec b构成的平行四边形的面积\)
        • 几何解释：叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量

        • 右手定理

        

        • 叉乘向量模长的几何意义

          • \(||a \times b||=||a||*||b||*sin(\theta)\)
          • 几何意义为a,b向量构成的平行四边形的面积
            
    • 向量的其他公式
      • 向量的模长：\(\sqrt{a_x^2 + a_y^2}\)，length(float2(x,y)|float3(x,y,z)|...)
      • 单位向量：
        向量大小为1：\(v_{norm}=\frac {v}{||v||},v\neq 0\)，normalize(n)
      • 欧式距离：
        三维空间：\(距离(\vec a,\vec b)=||\vec b-\vec a||=\sqrt{(b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2+(b_z-a_z)^2}\)
        二维空间: \(距离(\vec a,\vec b)=||\vec b-\vec a||=\sqrt{(b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2}\)

  • 2.矩阵运算

  • 3.MVP矩阵推导

  • 4.傅里叶变换

  • 5.其他