摘要：單純型算法是求解線性規划問題（LP）的一個經典算法，在單純型算法中最耗時的模塊是計算矩陣的逆矩陣的算法。網絡單純形算法是單純形算法的一個特殊版本，它使用生成樹基來更有效地解決具有純網絡形式的線性規划問題。
本文分享自華為雲社區《網絡單純型算法簡介》，原文作者：雲小凡 。
前言
單純型算法是求解線性規划問題（LP）的一個經典算法，在單純型算法中最耗時的模塊是計算矩陣的逆矩陣的算法。網絡單純形算法是單純形算法的一個特殊版本，它使用生成樹基來更有效地解決具有純網絡形式的線性規划問題。這樣的LP問題可以用有向圖上的公式來建模，作為一個最小費用流問題。
網絡單純型是指如下形式的LP問題：
其中，每列只包含一個1和一個-1，其他系數都是0。下面是一個例子：
該問題可以看做是最小費用流問題（Minimum cost flow problems）的圖形式。圖G=（V,E），頂點V表示行（約束），邊E表示列（變量），對於矩陣A中一個列，第i行有個1，第k行有個-1，表示圖G中的一條邊（i，k）。
對於上述例子，可以用下圖表示：
網絡流問題滿足Hoffman&Gale’s conditions,因此可以確保得到整數解。
關聯矩陣：
對於圖G=（V,E）的關聯矩陣A可以表示為：
上例中的關聯矩陣可以表示為：
路徑：
連通圖：圖中任意兩個頂點都有路徑。
生成樹：圖G的一個子圖T，包含圖G中所有頂點。
性質：rank(A)=n-1，n是結點個數。
我們新增一個變量w，A中增加一個列
，r∈{1,2……n}中任意一個值，w=0，則LP模型為：
其中，r稱為根節點(root vertex)，w稱為根邊（root edge）(going nowhere)
對於上述例子，假如選擇根節點 r=2
A 是圖G的關聯矩陣，T是G的生成樹，則(A│e_r )的基B=e_r∪{a_e |e∈T}
單純型算法：
我們可以從根節點進行先序遍歷，得到y2=0, y1-y2=1, y1-y3=10，即依次遍歷基5，基1，基4
偽代碼：(遞歸)
solve(Vertex p,Tree S){//p是樹S的根節點
Vertex v=root(S);
if(v==r) y[r]=c[w];
else if ((p,v)∈E y[v]=y[p]-c[(p,v)];
else y[v]=y[p]+c[(v,p)];
solve(v,S.left());
solve(v,S.right());
}
參考文獻：https://www.cs.upc.edu/~erodri/webpage/cps/theory/lp/network/slides.pdf