C++實現二分法詳解

二分法是在一個排好序的序列（數組，鏈表等）中，不斷收縮區間來進行目標值查找的一種算法，下面我們就來探究二分法使用的一些細節，以及常用的場景：

1. 尋找一個數；
2. 尋找左側邊界；
3. 尋找右側邊界。

一、二分法的通用框架

int binarySearch(vector<int>& nums, int target){ int left=0, right=nums.size(); while(left < right) { int mid=(left+right)/2; if(nums[mid] == target){ // 條件一：中間的值與目標值相同 } else if(nums[mid] > target){ // 條件二：中間的值大於目標值 } else if(nums[mid] < target){ // 條件三：中間的值小於目標值 } } return -1; } 

首先，我們先來分析一下右邊界 right 的初始值：

1. 當 right=nums.size() 時，初始化的區間就變成了 [0,right−1][0,right−1]，即 [0,right)[0,right)；
2. 當right=nums.size()-1 時，初始化的區間就變成了 [0,right][0,right]。

在第一種情況下，當 nums[mid] > target 時，需要將區間向左收縮，即 right=mid。這個做法的邏輯是：既然 mid 位置處大於 target，而查找區間又是 “左閉右開”，因此當 right=mid 時，新的查找區間變成了 [0,mid)[0,mid)，這樣才不會漏掉值。同理，當 nums[mid] < target 時，需要將區間向右收縮，即 left = mid+1，因為在 "左閉右開" 的區間下，新的查找區間變成 [mid+1,right)[mid+1,right) 才不會漏掉值。當目標值不在序列中時，需要將 while 的條件寫成 while(left < right) 而不是寫成 while(left<=right)，這樣會引起數組越界。

第二種情況的分析類似，這里只給出結論：

• 當 nums[mid] > target 時，需要將區間向左收縮，即 right=mid-1；
• 當 nums[mid] < target 時，需要將區間向右收縮，即 left = mid+1；
• 當目標值不在序列中時，需要將 while 的條件寫成 while(left<=right)

二、二分法查找目標值

在序列中查找一個數，如果存在則返回數的索引，如果不存在則返回 -1 。為了方便分析，我們就只用第一種情況進行說明：

int binarySearch(vector<int>& nums, int target){ int left=0, right=nums.size(); while(left < right) { int mid=(left+right)/2; if(nums[mid] == target){ return mid; // 查詢到目標值，直接返回目標值的位置 } else if(nums[mid] > target){ right = mid; // 中間的值大於目標值，向左收縮區間 } else if(nums[mid] < target){ left = mid+1;// 中間的值小於目標值，向右收縮區間 } } return -1; // 當沒有找到，直接返回-1 } 

三、二分法查找目標值的左右邊界

上述代碼只能從序列中查找一個目標值並返回位置，當一個序列中目標值不止一個時，我們需要找到目標值最左邊的位置和最右邊的位置，這時候二分法需要進行改寫：

// 查找目標值的左邊界 int binarySearch(vector<int>& nums, int target){ int left=0, right=nums.size(); while(left < right) { int mid=(left+right)/2; if(nums[mid] == target){ right = mid; // 查詢到目標值不進行返回，而是收縮區間繼續查找 } else if(nums[mid] > target){ right = mid; // 中間的值大於目標值，向左收縮區間 } else if(nums[mid] < target){ left = mid+1;// 中間的值小於目標值，向右收縮區間 } } return left; } 

根據上述代碼，可以發現如果查找目標值的左邊界，在滿足 nums[mid] == target 時，需要縮小搜索區間的上界 right，在區間 [left,mid][left,mid] 中繼續搜索，直到搜索完畢 left==right。此時 left=right=左邊界。

查找右邊界的做法與左邊界類似：

// 查找目標值的左邊界 int binarySearch(vector<int>& nums, int target){ int left=0, right=nums.size(); while(left < right) { int mid=(left+right)/2; if(nums[mid] == target){ left = mid+1; // 查詢到目標值不進行返回，而是收縮區間繼續查找 } else if(nums[mid] > target){ right = mid; // 中間的值大於目標值，向左收縮區間 } else if(nums[mid] < target){ left = mid+1;// 中間的值小於目標值，向右收縮區間 } } return left-1; } 

注意這里的判斷條件改成了當 nums[mid] == target 時，left = mid+1。因為搜索的區間為 "左閉右開"，所以在尋找左邊界時可令 right=mid ，在尋找右邊界時必須另 left=mid+1，不然程序會一直停在循環里面而無法跳出循環。