背景
你 Ki 叔 最近 CF 虐場的同時發明了一種趣味的東西，適用於區間修改查詢問題，但合並兩個區間的貢獻復雜度需要與區間長度有關的問題，這種問題無法用普通線段樹去維護，因為復雜度爆炸，過去一般會使用分塊維護，需要討論散塊、整塊等問題，較為復雜，而神仙大 Ki 子研究出了一種新的方式，代碼好寫，想法基於在線段樹上對節點大小進行根號分治。
理論
理論具體來說：
- 設立一個閾值 \(B\)
- 修改的時候，對於線段樹節點大小 \(\le B\) 的節點，暴力 pushup，\(> B\) 的時候則不管。
- 查詢的時候，只有當前節點完全屬於查詢區間且節點大小 \(\le B\) 時，在該點上相應查詢。
寫起來很好寫，就 pushup 和 query 的時候加一個 if 條件就行。
事實上，相當於是舍棄了線段樹上方一部分的結構，也可以理解維護了 \(\frac{n}{B}\) 級別顆線段樹。
這樣做復雜度是啥子？設 pushup 一個長度為 \(a\) 的區間的復雜度是 \(O(a \times X)\)，查詢一個線段樹節點的答案復雜度是 \(O(Y)\)。
- 考慮 Pushup。根據線段樹理論每層只會遞歸到兩個節點，因此區間總長度是 \(B + \frac{B}{2} + \frac{B}{4} + \dots = 2B\) 級別的，復雜度是 \(O(B \times X)\)
- 考慮 Query，定義最高層是節點大小 \(\le B\) 最大的那一層，遞歸到最高層下面的最多兩個區間，復雜度應當是 \(O((\frac{n}{B} + \log B) \times Y)\)，通常 \(\log\) 要小，可以視為 \(O(\frac{n}{B} \times Y)\)
這個均攤大概是 \(B = \sqrt \frac{nY}{X}\)，總復雜度 \(O(q\sqrt{nXY})\)。
例 1：CF1540D. Inverse Inversions
經過若干步轉化，問題變為維護一個序列 \(b\)，若干次查詢：
-
\(b\) 單點改
-
給一個值 \(v\)，以及 \(p\)，執行：
for i = p; i <= n; i++: if v >= b[i]: v++輸出最后的 \(v\)
考慮進行一段區間的這樣操作，設 \(f(x)\) 為把 \(x\) 丟出去出來的會是啥，這個函數是連續不降的，函數不同的值只有區間長度種，可以分段維護函數，考慮合並的時候可以用類歸並的方式 \(O(長度)\) 合並。
查詢的時候直接按順序在維護分段函數上二分 / lower_bound 就行。
這樣復雜度是 \(O(q\sqrt{n \log n})\)。
例 2：CF1129D Isolation / [BJOI2017]開車
兩題最后可以轉化為這樣一個數據結構問題：
有 \(n\) 個東西排成一排 ，有兩個屬性 \(a_i, b_i\)，每次：
- 給 \([l, r]\) 區間的 \(a\) 加減一個權值 \(w\)
- 詢問一個區間 \([l, r]\) 中，所有 \(a\) 在區間 \([x, y]\) 的 \(b\) 的和。
對於一個區間，可以維護按 \(a\) 排序的結果並且預處理 \(b\) 前綴和，查詢就可以在上面二分做到 \(\log\)，而排序可以從下面兩個兒子線性歸並排序。
復雜度是 \(O(q\sqrt{n\log n})\) 的。
這比傳統的分塊，把 \(\log\) 放根號里了，但事實上原本也可以做到，只不過仍然需要在散塊中歸並排序，其實與 ki 子線段樹原理本質是一樣的，但這個統一且和諧，簡單很多！
這兩題確實也有沒有 \(\log\) 做法，是開一個桶，但依賴於相鄰兩個值差不超過 \(1\) 這種限制。