【BZOJ5210】最大連通子塊和樹剖線段樹+動態DP

Description

給出一棵n個點、以1為根的有根樹，點有點權。要求支持如下兩種操作：

M x y：將點x的點權改為y；

Q x：求以x為根的子樹的最大連通子塊和。

其中，一棵子樹的最大連通子塊和指的是：該子樹所有子連通塊的點權和中的最大值

（本題中子連通塊包括空連通塊，點權和為0）。

Input

第一行兩個整數n、m，表示樹的點數以及操作的數目。

第二行n個整數，第i個整數w_i表示第i個點的點權。

接下來的n-1行，每行兩個整數x、y，表示x和y之間有一條邊相連。

接下來的m行，每行輸入一個操作，含義如題目所述。保證操作為M x y或Q x之一。

1≤n,m≤200000 ，任意時刻 |w_i|≤10^9 。

Output

對於每個Q操作輸出一行一個整數，表示詢問子樹的最大連通子塊和。

Sample Input

5 4
3 -2 0 3 -1
1 2
1 3
4 2
2 5
Q 1
M 4 1
Q 1
Q 2

Sample Output

題解：首先思路源自WC2018上陳俊錕所說的動態DP。

我們考慮每次詢問時都進行一次樹形DP。我們令f[x]表示x子樹中，包含x的連通塊的權值和最大值(可以為空)，容易得到DP方程：$f[x]=max(0,v[x]+\sum f[y])$（y是x的兒子）。再維護s[x]表示x的子樹中連通塊的權值和最大值，$s[x]=max(f[x],s[y]) $。如果每次詢問都進行一次樹形DP的話，修改的復雜度是O(1)，查詢的復雜度是O(x的子樹大小)。但是我們發現每次修改時只會對x到根這一條鏈上的點的DP值造成影響，其中對f[]的影響可以直接加減得到，對s[]的影響我們可以通過對每個點都開一個可刪除堆維護。這樣一來查詢的復雜就變成了O(1)，但是修改的復雜度變成了O(x的深度*log n)，依然無法通過此題。

我們考慮優化上面說的第二種暴力，不難想到用樹剖+線段樹來維護。我們令$g[x]=\sum f[y] $(y是x的輕兒子)。那么重鏈上的轉移就變成了$f[x]=max(0,f[son[x]]+g[x])$。你會驚訝的發現這個式子就是最大連續子段和的形式！所以在修改時，我們從x沿着不斷往根跳，對於重鏈，在線段樹上維護g[x]的最大連續子段和；對於輕鏈，暴力維護DP值即可。

接下來考慮如何維護s[]。我們沿用上面的思路，對每個點維護一個可刪除堆，但是這里的堆維護的是x的所有輕兒子的s值，重兒子的s值我們放到線段樹上同最大連續子段和一起維護（代碼中記為sm，表示max(g值的最大連續子段和,所有點的輕兒子的s)）。那么我們在線段樹上更新時，只需要用堆頂的元素來更新最大連續子段和，便完成了s[x]從底往上的傳遞。

在查詢時，我們只需要將 x所在鏈的鏈底—x 在線段樹上對應的區間的最大連續子段和取出來即可。

這樣一次修改的復雜度是$O(log^2n)$的，一次詢問的復雜度是$O(\log n)$的。

#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> #include <queue> #define lson x<<1 #define rson x<<1|1 using namespace std; const int maxn=200010; typedef long long ll; int n,m,cnt; int to[maxn<<1],next[maxn<<1],head[maxn],p[maxn],q[maxn],siz[maxn],dep[maxn],fa[maxn],top[maxn],son[maxn],sson[maxn]; ll v[maxn],f[maxn],g[maxn],ms[maxn]; char str[5]; struct heap { priority_queue<ll> p1,p2; inline void push(ll x) {p1.push(x);} inline void erase(ll x) {p2.push(x);} inline ll top() { while(!p2.empty()&&p1.top()==p2.top()) p1.pop(),p2.pop(); if(p1.empty()) return 0; return p1.top(); } }mx[maxn]; struct sag { ll sl,sr,sm,s; sag () {} sag operator + (const sag &a) const { sag b; b.s=s+a.s; b.sl=max(sl,s+a.sl); b.sr=max(a.sr,sr+a.s); b.sm=max(sr+a.sl,max(sm,a.sm)); return b; } }s[maxn<<2]; inline int rd() { int ret=0,f=1; char gc=getchar(); while(gc<'0'||gc>'9') {if(gc=='-') f=-f; gc=getchar();} while(gc>='0'&&gc<='9') ret=ret*10+(gc^'0'),gc=getchar(); return ret*f; } void dfs1(int x) { siz[x]=1; for(int i=head[x];i!=-1;i=next[i]) if(to[i]!=fa[x]) { fa[to[i]]=x,dep[to[i]]=dep[x]+1,dfs1(to[i]),siz[x]+=siz[to[i]]; if(siz[to[i]]>siz[son[x]]) son[x]=to[i]; } } void dfs2(int x,int tp) { top[x]=tp,p[x]=++q[0],q[q[0]]=x; if(son[x]) dfs2(son[x],tp),sson[x]=sson[son[x]],ms[x]=ms[son[x]]; else sson[x]=x; g[x]=v[x]; for(int i=head[x];i!=-1;i=next[i]) if(to[i]!=fa[x]&&to[i]!=son[x]) dfs2(to[i],to[i]),g[x]+=f[to[i]],mx[x].push(ms[to[i]]); f[x]=max(0ll,g[x]+f[son[x]]),ms[x]=max(ms[x],f[x]),ms[x]=max(ms[x],mx[x].top()); } void build(int l,int r,int x) { if(l==r) { s[x].s=g[q[l]]; s[x].sl=s[x].sr=max(g[q[l]],0ll); s[x].sm=max(g[q[l]],mx[q[l]].top()); return ; } int mid=(l+r)>>1; build(l,mid,lson),build(mid+1,r,rson); s[x]=s[lson]+s[rson]; } void updata(int l,int r,int x,int a) { if(l==r) { s[x].s=g[q[l]]; s[x].sl=s[x].sr=max(g[q[l]],0ll); s[x].sm=max(g[q[l]],mx[q[l]].top()); return ; } int mid=(l+r)>>1; if(a<=mid) updata(l,mid,lson,a); else updata(mid+1,r,rson,a); s[x]=s[lson]+s[rson]; } sag query(int l,int r,int x,int a,int b) { if(a<=l&&r<=b) return s[x]; int mid=(l+r)>>1; if(b<=mid) return query(l,mid,lson,a,b); if(a>mid) return query(mid+1,r,rson,a,b); return query(l,mid,lson,a,b)+query(mid+1,r,rson,a,b); } inline void modify(int x,ll y) { sag t1,t2,t3; int flag=0; while(x) { t3=query(1,n,1,p[top[x]],p[sson[top[x]]]); if(flag) mx[x].erase(t1.sm),mx[x].push(t2.sm); t1=t3; flag=1; g[x]+=y,updata(1,n,1,p[x]); t2=query(1,n,1,p[top[x]],p[sson[top[x]]]); y=t2.sl-f[top[x]],f[top[x]]=t2.sl; x=fa[top[x]]; } } inline void add(int a,int b) { to[cnt]=b,next[cnt]=head[a],head[a]=cnt++; } int main() { //freopen("A.in","r",stdin); //freopen("A.out","w",stdout); n=rd(),m=rd(); int i,a,b; memset(head,-1,sizeof(head)); for(i=1;i<=n;i++) v[i]=rd(); for(i=1;i<n;i++) a=rd(),b=rd(),add(a,b),add(b,a); dep[1]=1,dfs1(1),dfs2(1,1); build(1,n,1); for(i=1;i<=m;i++) { scanf("%s",str); if(str[0]=='M') { a=rd(),b=rd(); modify(a,b-v[a]),v[a]=b; } else { a=rd(); printf("%lld\n",query(1,n,1,p[a],p[sson[a]]).sm); } } return 0; }//5 3 1 2 -3 -4 5 1 2 2 3 3 4 4 5 Q 2 C 4 1 Q 2