之前寫過一個隨筆，描述怎么用 gnuplot 繪制球諧函數圖：https://www.cnblogs.com/luyi07/p/14713231.html
其中提到，在畫球諧函數這事上，python的缺點是圖片不能旋轉，圖片小不夠清楚華麗，代碼細節多（其實也還好，多一點點）。
現在，真香定律顯現，我發現，python的上述缺點確實存在，但是，gnuplot沒有內置的球諧函數，得自己寫，而我，懶得寫了，所以還是（真香！）用python畫吧，等有空了再自己寫一個gnuplot內置的球諧函數，然后用pm3d畫吧，gnuplot渲染得確實更好看。
1. 球諧函數定義
不同的書上有不同的約定，咱還是用 Condon-Shortley 相位約定，定義如下：
\[Y^m_n(\theta,\phi) \equiv (-1)^m \sqrt{ \frac{2n+1}{4\pi} \frac{(n-m)!}{(n+m)!} } P^m_n(\cos \theta) e^{im\phi}, \]
其中，\((-1)^m\)即Condon-Shortley相因子，大概是為了方便做角動量代數的，連帶勒讓德函數定義為（Rodriguez公式）：
\[P^m_n(x) \equiv \frac{1}{2^n n!} (1-x^2)^{m/2} \frac{ d^{n+m} }{ d x^{n+m} } (x^2-1)^n. \]
這里球諧函數的定義與上一個帖子(https://www.cnblogs.com/luyi07/p/14713231.html)是一致的，但是連帶勒讓德函數的定義略有不同。
2. 球諧函數的繪制代碼
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import special
import mpl_toolkits.mplot3d.axes3d as axes3d
theta, phi = np.linspace(0, np.pi, 100), np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
THETA, PHI = np.meshgrid(theta, phi)
#help(special.sph_harm)
R = (special.sph_harm(2,3,PHI,THETA).real)**2
X = R * np.sin(THETA) * np.cos(PHI)
Y = R * np.sin(THETA) * np.sin(PHI)
Z = R * np.cos(THETA)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1,1,1, projection='3d')
plot = ax.plot_surface(
X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap=plt.get_cmap('jet'),
linewidth=0, antialiased=False, alpha=0.5)
# below are codes copied from stackoverflow, to make the scaling correct
max_range = np.array([X.max()-X.min(), Y.max()-Y.min(), Z.max()-Z.min()]).max() / 2.0
mid_x = (X.max()+X.min()) * 0.5
mid_y = (Y.max()+Y.min()) * 0.5
mid_z = (Z.max()+Z.min()) * 0.5
ax.set_xlim(mid_x - max_range, mid_x + max_range)
ax.set_ylim(mid_y - max_range, mid_y + max_range)
ax.set_zlim(mid_z - max_range, mid_z + max_range)
#ax.view_init(elev=30,azim=0) #調節視角，elev指向上(z方向)旋轉的角度，azim指xy平面內旋轉的角度
plt.show()
效果如上圖所示。說明以下幾點：
- plt.show() 上面的那一行，ax.view_init(...)可以調節觀看者的視角
- 再往上一大段代碼，是為了保證 xyz三個方向的坐標比例完全相同
- 再往上才是畫圖的核心代碼，即在立體角各個角度取點，然后使用 plot_surface 函數繪制，其中有染色方案的參數，這部分代碼是從網上找來以后自己改的。
- 如果需要保存圖片，可以添加一行 plt.savefig("xx.jpg")，應該就行了。
綜上所述，我在網上分別找了 plot_surface用法，球諧函數調用，scaling方案，視角變換，然后結合兩本教材上球諧函數的相位約定（教材見下面），花了１個多小時實踐操作總結，得到了這篇博客。親愛的讀者，它就這樣來到你的面前。
3. 鳴謝
- D. J. Griffiths, "Introduction to Quantum Mechanics"，及鄭州大學中文譯本
- Arfken, Weber, "Mathmatical Methods for Physicists"