模糊集

1. 集合

1.1 集合論的簡介

     19世紀末，德國數學家康托創立了集合論，並快速滲透數學的各個分支。1965年，M國加州大學伯克利分校電氣工程系扎德(Zadeh)教授在期刊“Information and Control”上發表了一篇開創性得論文“Fuzzy Sets”,文章使用了隸屬函數的概念，用來刻畫差異的中間過程。該論文是模糊理論的基礎，同時也標志着模糊集合理論的誕生。

1.2     集合的概念

(1) 集合的概念(高中階段)
一般地，指定的某些對象的全體稱為集合。比如：所有1班的同學稱為一個集合。
(2) 集合的概念(大學階段)
給定論域\(X\)和某些性質或者屬性\(P\),\(X\)滿足性質\(P\)的所有元素組成的全體稱為集合(Set)。比如：\(\{X|X>2,X\in{N}\}\)
注意：論域指研究范圍。
(3) 通俗理解
集合就是一堆事物且滿足：確定性、互異性、無序性。
(4) 集合論中的悖論
羅素悖論：
在很早以前的一個村庄里, 只有一個理發師, 他規定只替而且一定替不給自己理發的人理發。這就引出一個問題: 他該不該給自理發?

1.3 集合的表示方法

(1) 列舉法：對於有限集，可以將所有的元素一一列舉出來，並用大括號括起來。
(2) 描述法：對於無限集，我們可以根據元素的定義來描述集合。
(3) 特征函數法：用解析形式描述元素屬於集合的程度。

1.4 特征函數定義

任意給定一個集合\(A\)，我們定義

\[\mathcal{X}_A= \begin{cases} 1 , &\text{$x\in{A}$}\\ 0 , &\text{$x\notin{A}$} \end{cases} \]

為集合\(A\)的特征函數。特征函數在一定意義上可以代表集合，因此可以通過特征函數來研究集合的結構和性質。

1.5 模糊集合簡介

    在經典的集合論中，論域中的元素要么屬於這個集合，要么不屬於這個集合。即\(\mathcal{X}_A=1\)或\(\mathcal{X}_A=0\).這種集合我們稱它為“硬集(Crisp Sets)”.在生活中，我們試圖將5個學生分為“高個子學生”和“矮個子學生”的集合時，用傳統的集合論來划分很難應用。針對這種邊界不明確的事物分類，扎德提出模糊集合概念。

1.6 模糊集合悖論

古希臘悖論：
一粒種子肯定不叫一堆,兩粒種子也不是,三粒種子也不是,....,但是所有得人都同意一億粒種子肯定是一堆種子，那么它們得界限在哪里呢？

1.6 模糊子集的定義

設集合\(A\)是集合\(U\)的子集，若對於任意\(U\)中的元素\(x\)，用隸屬度函數\(\mu_A(x)\)來表示\(x\)對\(A\)的隸屬程度，則\(A\)為\(U\)的一個模糊子集，記為\(A=\{\mu_A(x),x\}\).