絕密★啟用前
2021 年普通高等學校招生全國統一考試
數學（新高考Ⅰ卷）
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設集合 \(A=\{x|-2<x<4\}\)，\(B=\{2,3,4,5\}\)，則 \(A\cap B=\)
A．\(\{2\}\) B．\(\{2,3\}\) C．\(\{3,4\}\) D．\(\{2,3,4\}\)
2. 已知 \(z=2-\mathrm{i}\)，則 \(z(\bar{z} + \mathrm{i})=\)
A．\(6-2\mathrm{i}\) B．\(4-2\mathrm{i}\) C．\(6+2\mathrm{i}\) D．\(4+2\mathrm{i}\)
3. 已知圓錐的底面半徑為 \(\sqrt{2}\)，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為
A．\(2\) B．2\(\sqrt{2}\) C．\(4\) D．\(4\sqrt{2}\)
4. 下列區間中，函數 \(f(x)=7\sin(x-\frac{\pi}{6})\) 單調遞增的區間是
A．\((0,\frac{\pi}{2})\) B．\((\frac{\pi}{2},\pi)\) C．\((π,\frac{3\pi}{2})\) D．\((\frac{3\pi}{2},2\pi)\)
5. 已知 \(F_1\)，\(F_2\) 是橢圓 \(C:\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\) 的兩個焦點，點 \(M\) 在 \(C\) 上，則 \(|MF_1|\cdot |MF_2|\) 的最大值為
A．\(13\) B．\(12\) C．\(9\) D．\(6\)
6. 若 \(\tan\theta=-2\)，則 \(\frac{\sin{\theta\left( 1 + \sin{2\theta} \right)}}{\sin\theta + \cos\theta}=\)
A．\(- \frac{6}{5}\) B．\(\ - \frac{2}{5}\) C．\(\ \frac{2}{5}\) D．\(\ \frac{6}{5}\)
7. 若過點 \((a,b)\) 可以作曲線 \(y=\mathrm{e}^x\) 的兩條切線，則
A． \(\mathrm{e}^b<a\) B．\(\mathrm{e}^a<b\) C．\(0<a<\mathrm{e}^b\) D．\(0<b<\mathrm{e}^a\)
8. 有 \(6\) 個相同的球，分別標有數字 \(1,2,3,4,5,6\)，從中有放回的隨機取兩次，每次取 \(1\) 個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是 \(1\)”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是 \(2\)”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是 \(8\)”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是 \(7\)”，則
A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立
C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立
二、選擇題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得 5 分，部分選對的得 2 分，有選錯的得 0 分．
9. 有一組樣本數據 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，由這組數據得到新樣本數據 \(y_1,y_2,\cdots,y_n\)，其中 \(y_i=x_i+c\ (i=1,2,\cdots,n)\)，\(c\) 為非零常數，則
A．兩組樣本數據的樣本平均數相同 B．兩組樣本數據的樣本中位數相同
C．兩組樣本數據的樣本標准差相同 D．兩組樣本數據的樣本極差相同
10. 已知 \(O\) 為坐標原點，點 \(P_1(\cos\alpha,\sin\alpha)\)，\(P_2(\cos\beta,-\sin\beta)\)，\(P_3(\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta))\)，\(A(1,0)\)，則
A．\(|\overrightarrow{OP_1}|=\overrightarrow{|OP_2}|\) B．\(|\overrightarrow{AP_1}|=|\overrightarrow{AP_2}|\)
C．\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_3}=\overrightarrow{OP_1}\cdot \overrightarrow{OP_2}\) D．
\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP_1} = \overrightarrow{OP_2}\cdot \overrightarrow{OP_3}\)
11. 已知點 \(P\) 在圓 \((x - 5)^2+(y - 5)^2=16\) 上，點 \(A(4,0)\)，\(B(0,2)\)，則
A．點 \(P\) 到直線 \(AB\) 的距離小於 \(10\)
B．點 \(P\) 到直線 \(AB\) 的距離大於 \(2\)
C．當 \(\angle PBA\) 最小時，\(|PB|=3\sqrt{2}\)
D．當 \(\angle PBA\) 最大時，\(|PB|=3\sqrt{2}\)
12. 在正三棱柱 \(ABC-A_1B_1C_1\) 中，\(AB=AA_1=1\)，點 \(P\) 滿足\(\overrightarrow{PB} = \lambda\overrightarrow{BC}+\mu\overrightarrow{BB_1}\)，其中 \(\lambda\in[0,1]\)，\(\mu\in[0,1]\)，則
A．當 \(\lambda=1\) 時，\(\triangle AB_1P\) 的周長為定值
B．當 \(\mu=1\) 時，三棱錐 \(P-A_1BC\) 的體積為定值
C．當 \(\lambda=\frac{1}{2}\) 時，有且僅有一個點 \(P\)，使得 \(A_1P\perp BP\)
D．當 \(\mu=\frac{1}{2}\) 時，有且僅有一個點 \(P\)，使得 \(A_1B\perp\) 平面 \(AB_1P\)
三．填空：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分．
13. 已知函數 \(f(x)=x^{3}(a \cdot 2^x - 2^{-x})\)是偶函數，則 \(a=\underline{\qquad}\)．
14. 已知 \(O\) 為坐標原點，拋物線 \(C:y^2 = 2px(p＞0)\) 的焦點為 \(F,P\) 為 \(C\) 上一點，\(PF\) 與 \(x\) 軸垂直，\(Q\) 為 \(x\) 軸上一點，且 \(PQ\perp OP\)，若 \(|FQ|=6\)，則 \(C\) 的准線方程為 \(\underline{\qquad}\)．
15. 函數 \(f(x)=|2x-1|-2\ln x\) 的最小值為 \(\underline{\qquad}\)．
16. 某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現此紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折．規格為 \(20\ \mathrm{dm}\times 12\ \mathrm{dm}\) 的長方形紙．對折 \(1\) 次共可以得到 \(10\ \mathrm{dm}\times12\ \mathrm{dm}\)，\(20\ \mathrm{dm}\times6\ \mathrm{dm}\) 兩種規格的圖形，它們的面積之和 \(S_1=240\ \mathrm{dm^2}\)，對折 \(2\) 次共可以得 \(5\ \mathrm{dm}\times12\ \mathrm{dm}\)，\(10\ \mathrm{dm}\times6\ \mathrm{dm}\)，\(20\ \mathrm{dm}\times3\ \mathrm{dm}\) 三種規格的圖形，它們的面積之和 \(S_2 =180\ \mathrm{dm^2}\)，以此類推．則對折 \(4\) 次共可以得到不同規格圖形的種數為 \(\underline{\qquad}\)；如果對折 \(n\) 次，那么 \(\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}S_k=\underline{\qquad}\ \mathrm{dm^2}\)．
四、解答題：本題共 6 小題，共 70 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17.（10 分）已知數列 \(\{a_n\}\) 滿足 \(a_1=1\)，\(a_{n+1}=\begin{cases}a_n + 1，n \text{為奇數} \\a_n + 2，n \text{為偶數} \end{cases}\)
（1）記 \(b_n=a_{2n}\)，寫出 \(b_1\)，\(b_2\)，並求數列 \(\{b_n\}\) 的通項公式；
（2）求 \(\{ a_n\}\) 的前 \(20\) 項和．
18.（12 分）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有 A，B 兩類問題．每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類並從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束．A 類問題中的每個問題回答正確得 20 分，否則得 0 分；B 類問題中的每個問題回答正確得 80 分，否則得 0 分．
己知小明能正確回答 A 類問題的概率為 0.8，能正確回答 B 類問題的概率為 0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關．
（1）若小明先回答 A 類問題，記 \(X\) 為小明的累計得分，求 \(X\) 的分布列；
（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？並說明理由．
19.（12 分）
記 \(\triangle ABC\) 的內角 \(A\)，\(B\)，\(C\) 的對邊分別為 \(a\)，\(b\)，\(c\)，已知 \(b^{2}=ac\)，點 \(D\) 在邊 \(AC\)
上，\(BD \sin\angle ABC = a\sin C\)．
（1）證明：\(BD = b\)；
（2）若 \(AD = 2DC\)，求 \(\cos\angle ABC\)．
20.（12 分）
如圖，在三棱錐 \(A-BCD\) 中，平面 \(ABD\perp\) 平面 \(BCD\)，\(AB=AD\)，\(O\) 為 \(BD\) 的中點．
（1）證明：\(OA\perp CD\)；
（2）若 \(\triangle OCD\) 是邊長為 \(1\) 的等邊三角形，點 \(E\) 在棱 \(AD\) 上，\(DE = 2EA\)，且二面角 \(E-BC-D\) 的大小為 \(45^{\circ}\)，求三棱錐 \(A-BCD\) 的體積．
21.（12 分）
在平面直角坐標系 \(xOy\) 中，己知點 \(F_1(-\sqrt{17},0)\)，\(F_2(\sqrt{17},0)\)，點 \(M\) 滿足 \(|MF_t|-|MF_2|=2\)．記 \(M\) 的軌跡為 \(C\)．
（1）求 \(C\) 的方程；
（2）設點 \(T\) 在直線 \(x=\frac{1}{2}\) 上，過 \(T\) 的兩條直線分別交 \(C\) 於 \(A\)，\(B\) 兩點和 \(P\)，\(Q\) 兩點，且 \(|TA|\cdot|TB|=|TP|\cdot|TQ|\)，求直線 \(AB\) 的斜率與直線 \(PQ\) 的斜率之和．
22. (12 分）
已知函數 \(f(x)=x(1-\ln x)\)
（1）討論 \(f(x)\) 的單調性；
（2）設 \(a,b\) 為兩個不相等的正數，且 \(b\ln a-a\ln b=a-b\)，證明：\(2 < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < \mathbb{e}\)．
部分答案
1. B
2. C
3. B
4. A
5. C
6. C
7. D
8. B
9. CD
10. AC
11. ACD
12. BD
13. \(a=1\)
14. \(x = - \frac{3}{2}\)
15. \(1\)
16. \(5\)；\(240\left( 3 - \frac{n + 3}{2^{n}} \right)\)