第三節 行列式按行(列)展開
一．數學概念
余子式和代數余子式
在n階行列式中，把元素 
所在第i行和第j列划去后，留下來的n-1階行列式叫做元素 的余子式，記作 
，記
,
叫做元素 的代數余子式。
二．原理，公式
引理 一個n階行列式，如果其中第i行所有元素除 外都為零，那么這行列式等於 與它的代數余子式的乘積。
定理3.1 行列式等於它的任一行(列)的各元素與其對應的代數余子式乘積之和。即
或 
推論 行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對應元素的代數余子式乘積之和等於零，即
范德蒙德(Vandermonde)****行列式
三．重點，難點分析
本節重點是行列式按行(列)展開的引理、定理、推論。靈活准確的應用行列式的性質和展開定理及其引理是快速、准確計算行列式的關鍵。而行列式展開定理的推論不僅告訴我們計算行列式時必須用某一行(列)的元素分別乘以該行(列)對應元素的代數余子式乘積之和時才是該行列式的值。否則乘以其它行(列)對應的元素的代數余子式的乘積之和則為零，而且該推論和展開定理並用可以計算行列式中的參數。
Vandermonde行列式雖然給出了一個計算公式，但是對於某些特殊的行列式怎么變成Vandermonde行列式的形式確是比較困難，當然用Vandermonde行列式能夠計算一些難度較大的行列式的計算。
四．典型例題分析
例2****．設4階行列式的第2列元素依次為2，m,k,3，第2列元素的余子式依次為1,-1,1,-1,第4行元素的代數余子式依次為3,1,4,2,且行列式值為1，求m,k。
解：這是一道用行列式的展開定理和推論並用的計算行列式中的參數m,k的題型。由行列式的展開定理及其推論得
即 
解得 
例3****．計算
解：本題從表面上它不是Vandermonde行列式，但是我們可以用行列式的性質將其變成行列的形式，將D的第1列分別乘 
加到第3列，得
