3-1 從投擲色子說起
母函數
定義2-1 對於序列c0 , c1 , c2…, 構造一函數
, 稱G(x)為序列c0 , c1 , c2…的母函數。
母函數和計數法則
母函數是母親，計數序列是孩子。函數中的系數對應計數序列。
– 計數工具
– 不考慮收斂性
– 不考慮實際上的數值
– 形式冪級數(Formal power series)
數學發展中比比皆是通過映射手段求解的現象。
多項式乘法運算使母函數具備了計數的能力：乘法法則和加法法則。
3-2 母函數的計數問題
若有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚， 問能稱出哪幾種重量？有幾種可能方案？
若有1、2、4、8、16、32克的砝碼各一枚，問能稱出哪幾種重量？有幾種可能方案？
從母函數可以得知，用這些砝碼可以稱出 從1克到63克的重量，而且辦法都是唯一的。這問題可以推廣到證明任一十進制數n。
3-3 整數拆分
所謂自然數(正整數)分拆,就是將一個正整數表達成若干個正整數之和:
各部分之間考慮順序的叫有序分拆(Composition) ; 否則叫無序分拆(Partition)。
有序分拆(Composition)
3的有序2-拆分：3=2+1=1+2
n的有序r-拆分的個數是C(n-1,r-1)
模型1：n個球，要分成r份，用r-1個隔板插入到球之間的n-1個空隙，方案數C(n-1,r-1)
模型2：放球模型： n的一個r-分拆相當於把n個無區別的球放到r個有標志
的盒子，盒子不允許空着
例: 整數n拆分成1， 2， 3， …， m的和，並允許重復，求其母函數。（見書P.67）
無序分拆(Partition)
3的無序2-拆分： 3=2+1
3的所有無序拆分3=3+0+0=2+1+0=1+1+1
x1+x2+…+xr=n的非負整數解個數？ C(n+r-1,n)
相當於把n個無區別的球放到r個有標志的盒子，盒子允許空着。
所謂整數拆分(partition of a positive integer n )即把整數分解成若干整數的和，相當於把n個無區別的球放到n個無標志的盒子， 盒子允許空着，也允許放多於一個球。整數拆分成若干整數的和，辦法不一，不同拆分法的總數叫做拆分數。
正整數的無序拆分：
將一個正整數n拆分成若干正整數的和，數字之間順序無關並允許重復，其不同的拆分數即p(n)。
p(3)=3 : 3， 2 + 1， 1 + 1 + 1
整數拆分p(n)的母函數
卷積？：
基於整型表示的多項式乘法算法只能運算到p(416)，整數拆分數能算到多大？需要大數乘法的算法。
3-4 Ferrers圖像（Ferrers diagram）
利用Ferrers圖像可得關於整數拆分的十分有趣的結果。
(a)整數n拆分成最大數為k的拆分數，和數n拆分成k個數的和的拆分數相等。
(b)整數n拆分成最多不超過m個數的和的拆分數，和n拆分成最大不超過m的拆分數相等。理由和(a)相類似。
具體見書P70 2.9/2.10
3-5 母函數和遞推關系
遞推關系(Recurrence Relation)：即差分方程(Difference equation),是一種遞推地定義一個序列的方程式：序列的每一項目定義為前若干項的函數。
從G(x)得到序列{a_n}。關鍵在於要搭起從序列到母函數，從母函數到序列這兩座橋。
作者：反復練習的阿離很笨吧
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