這次主要介紹的是多個隨機變量之間的關系，主要涉及聯合概率，邊緣概率，條件概率這三種關系，還有一個利用他們之間關系導出的非常重要的公式：貝葉斯公式
1.聯合概率
聯合概率指的是包含多個條件且所有條件同時成立的概率，記作P(X=a,Y=b)或P(a,b)，有的書上也習慣記作P(ab)，但是這種記法個人不太習慣，所以下文采用以逗號分隔的記法。
一定要注意是所有條件同時成立！
2.邊緣概率
邊緣概率是與聯合概率對應的，P(X=a)或P(Y=b)，這類僅與單個隨機變量有關的概率稱為邊緣概率
3.聯合概率與邊緣概率的關系
P(X=a)=∑bP(X=a,Y=b) P(X=a)=∑bP(X=a,Y=b)
P(Y=b)=∑aP(X=a,Y=b) P(Y=b)=∑aP(X=a,Y=b)
求和符號表示窮舉所有Y（或X）所能取得b（或a）后，所有對應值相加得到的和
4.條件概率
條件概率表示在條件Y=b成立的情況下，X=a的概率，記作P(X=a|Y=b)或P(a|b)，它具有如下性質：
“在條件Y=b下X的條件分布”也是一種“X的概率分布”，因此窮舉X的可取值之后，所有這些值對應的概率之和為1即：
∑aP(X=a|Y=b)=1 ∑aP(X=a|Y=b)=1
5.聯合概率、邊緣概率與條件概率之間的關系
P(X=a|Y=b)=P(X=a,Y=b)P(Y=b) P(X=a|Y=b)=P(X=a,Y=b)P(Y=b)
為了方便理解這個式子，可以將概率轉化為面積：
聯合概率P(X=a,Y=b)
滿足X=a且Y=b的面積
邊緣概率P(X=a)
不考慮Y的取值，所有滿足X=a的區域的總面積
條件概率P(X=a|Y=b)
在Y=b的前提下，滿足X=a的面積（比例）
通過以上示例，稍加計算這三種概率之間的關系便可一目了然
6.條件聯合分布的分解
我們可以根據具體情況，像下面這樣靈活的分解條件聯合分布
P(X=a,Y=b|Z=c)=P(X=a|Y=b,Z=c)P(Y=b|Z=c) P(X=a,Y=b|Z=c)=P(X=a|Y=b,Z=c)P(Y=b|Z=c)
這只是一個例子，作為啟發，類似的分解方法可以根據實際情況不同而進行不同的分解。為了大家可以有效掌握這種方法，建議自己從式子左側根據上面三種概率的關系式進行一遍推導。
再給大家留一個看起來非常復雜的式子，大家可以自己試試看能否從左側推導至右側
7.貝葉斯公式
說了那么多，終於到大boss了，貝葉斯公式！但是，先別急，需要先引入兩個概念
先驗概率：知道原因推結果的，P(原因)、P(結果|原因)等
后驗概率：根據結果推原因的，P(原因|結果)等
貝葉斯公式解決的是一些原因X無法直接觀測、測量，而我們希望通過其結果Y來反推出原因X的問題，也就是知道一部分先驗概率，來求后驗概率的問題。
舉個栗子：
打到怪物就能獲得寶箱，但是寶箱有2/3的概率是陷阱，玩家可以通過魔法來檢查，但是有1/4的誤判概率，問：假設玩家利用魔法判定此寶箱沒有陷阱，求寶箱有陷阱的概率
我們已知的先驗概率有
P(有陷阱)=2/3；P(沒有發現|有陷阱)=1/4；P（發現了|沒有陷阱)=1/4
要求的后驗概率為
P(有陷阱|沒有發現)
我們依舊使用面積來幫助我們解題，根據已知划分出的面積情況如下圖所示
我們可以推得：
P(有陷阱|沒有發現)=P(有陷阱,沒有發現)P(沒有發現) P(有陷阱|沒有發現)=P(有陷阱,沒有發現)P(沒有發現)
P(沒有發現)=P(沒有發現|有陷阱)P(有陷阱)+P(沒有發現|沒有陷阱)P(沒有陷阱) P(沒有發現)=P(沒有發現|有陷阱)P(有陷阱)+P(沒有發現|沒有陷阱)P(沒有陷阱)
聯立兩式我們就可以得到一個由已知條件求P(有陷阱|沒有發現)的式子
P(有陷阱|沒有發現)=P(有陷阱,沒有發現)P(沒有發現|有陷阱)P(有陷阱)+P(沒有發現|沒有陷阱)P(沒有陷阱) P(有陷阱|沒有發現)=P(有陷阱,沒有發現)P(沒有發現|有陷阱)P(有陷阱)+P(沒有發現|沒有陷阱)P(沒有陷阱)
這就是對應於此題的貝葉斯公式。它的的一般形式如下：
其中“…”的部分需要列出X所有可能的值，並求和。
在記憶貝葉斯公式時，很容易搞錯豎線左右兩側的值，因此建議大家在習慣使用貝葉斯公式時，最好先根據定義與性質當場推導，而不要僅僅憑記憶默寫。
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