統計量與估計量

目錄

• 統計量定義
• 估計量
  • 評價估計量的優劣
    • 無偏性

---

返回 我的研究方向(Research Interests)

---

圖表可以把樣本中的數據用圖形表達出來，很直觀形象，但是，缺點有很大，例如，直方圖的圖像依賴分組，不同的分組，導致不一樣的圖像。
因此，除統計圖表外，對樣本進行整理加工的另一種有效方法是構造樣本函數

\[T=T(x_1 ,x_2, ..., x_n) \]

它可以把分散在樣本中的總體信息按人們的需要（某種統計思想）集中在一個函數上，使該函數值能反映總體某方面的信息。這樣的樣本函數在統計學中稱為 統計量。

統計量定義

不含任何未知參數的樣本函數稱為統計量。

樣本\((X_1,X_2，…，X_n)\)是 n 維隨機變量，因此，作為樣本函數的統計量，也是隨機變量。
這里“不含任何未知參數”是要求樣本函數中除樣本外不含任何知成分。

例如：
樣本中各數據的算術平均數稱為樣本均值，記為:

\[\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \]

樣本方差，記為:

\[S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x} )^2 \]

樣本標准差，記為:

\[S = \sqrt{S^2 } \]

這是較為簡單的樣本函數，又不含未知參數，故是統計量。

因為簡單，故使用較為頻繁。但其統計思想較為深刻，因為平均可以消除很多隨機干擾。

譬如，某市無人售票的公共汽車實行單一票價:2元/人次。幾年來，乘客與公交公司都很滿意，都認為“公平”。這里的公平只是平均來說才存在的，並不是存在於每次乘車。因此單一票價是依據以往多級票價的樣本均值而作出的。

又如降壓葯的療效是根據一組高血壓病人服用此種降壓葯后（如一周后)平均降壓多少而確定的，不是僅看一兩個人降壓多少而定的。因為人群中個體間的差異很大，且這種差異帶有隨機性，時大時小，時正時負，以不可測的隨機方式呈現在我們面前，所以從個體去認識總體常會出現偏差。從樣本認識總體可減少此種偏差，如樣本均值可以抵消大部分偏差，出現較為穩定的值，參與平均的個體越多，平均數的穩定性越好。葯檢部門就是根據平均療效來核准某種葯物是否可以上市出售的。
有段時間減肥葯的廣告很多。“××明星吃了我們的減肥葯，十天體重減了3公斤”，“×××老干部吃了我們的減肥葯，一個月減少10公斤體重”，“快來買吧，立即打電話，價格還可優惠”……你相信這些廣告嗎?由於制造商拿不出有說服力的樣本均值（100位肥胖的人服用了你的減肥葯，一個月內平均可減少體重多少公斤)，而企求名人效應來推銷它的減肥葯，只能用極其罕見的個體數據來做廣告，欺騙缺乏平均數等統計知識的人群。在這個充滿隨機現象的現實世界里，平均數比個體數據更具說服力。

估計量

在對總體分布作出假定的情況下，從樣本對總體的某些特征作出一些推理，稱為統計推斷。

費希爾(R.A.Fisher，1890—1962)把統計推斷歸為如下三大類:

• 抽樣分布〈精確的與近似的);
• 參數估計（點估計與區間估計);
• 假設檢驗（參數檢驗與非參數檢驗)。
  缺少統計量，上面這三個統計推斷就很難進行

定義：
用於估計未知參數的統計量稱為 點估計（量），或簡稱為 估計（量）。
參數 \(\theta\) 的估計量常用 \(\widehat{\theta} = \widehat{\theta} （x_1，x_2，...x_n）\)表示，參數 \(\theta\) 的可能取值范圍稱為參數空間，記為 \(\Theta =\left \{ {\theta } \right \}\)

這里的參數包括：分布中含有的未知參數；分布中的期望、方差、標准差、分位數等特征數；某件事的概率等。

評價估計量的優劣

一個參數的估計量常不止一個。常用的評價標准有多個，如無偏性、有效性、均方誤差最小與相合性

無偏性

設\(\widehat{\theta} = \widehat{\theta} （x_1，x_2，...x_n）\)是參數 \(\theta\) 的一個估計，若對於參數空間 \(\Theta =\left \{ {\theta } \right \}\) 中的任一個\(\theta\) 都有

\[E\left ( \hat{\theta } \right ) = \theta 或 E\left ( \hat{\theta } -\theta \right ) = 0 , \forall \theta \in \Theta \]

則稱\(\widehat{\theta}\)為\(\theta\)的無偏估計，否則稱為\(\theta\)的有偏估計。
當估計\(\widehat{\theta}\)隨着樣本量 n 的增加而逐漸趨於其真值\(\theta\)，這時若記\(\widehat{\theta}\)=\(\widehat{\theta}_n\)，則有

\[\lim_{n \to \infty} \left ( \hat{\theta}_n \right ) =\theta , \forall \in \Theta \]

則稱\(\widehat{\theta}_n\)為\(\theta\) 的漸近無偏估計。

當我們使用無偏估計 \(\hat{\theta }\) 去估計 \({\theta}\) 時，每次的實現值 \(\hat{\theta }\) 對 \({\theta}\) 的偏差\(\hat{\theta }-{\theta}\)總是存在的。
由於樣本的隨機性，這種偏差時大時小，時正時負，而把這些偏差平均起來其值為0，這就是無偏估計自的含義。所以無偏是指無系統偏差。

若一個估計不具有無偏性，估計均值 \(E\left ( \hat{\theta } \right )\) 與參數真值 \(\theta\) 總有一定距離，這個距離就是系統偏差。這就是有偏估計的缺點。

漸近無偏估計是指系統偏差會隨着樣本量 n 的增加而逐漸減小，最后趨於 \(\theta\) ，所以在大樣本場合此種有偏估計 \(\hat{\theta }_n\) ，可以近似當作無偏估計使用。

參考：

[1]數理統計學(2版)/茆詩松等編著.北京：中國人民大學出版社，2016.1