统计量与估计量

目录

• 统计量定义
• 估计量
  • 评价估计量的优劣
    • 无偏性

---

返回 我的研究方向(Research Interests)

---

图表可以把样本中的数据用图形表达出来，很直观形象，但是，缺点有很大，例如，直方图的图像依赖分组，不同的分组，导致不一样的图像。
因此，除统计图表外，对样本进行整理加工的另一种有效方法是构造样本函数

\[T=T(x_1 ,x_2, ..., x_n) \]

它可以把分散在样本中的总体信息按人们的需要（某种统计思想）集中在一个函数上，使该函数值能反映总体某方面的信息。这样的样本函数在统计学中称为 统计量。

统计量定义

不含任何未知参数的样本函数称为统计量。

样本\((X_1,X_2，…，X_n)\)是 n 维随机变量，因此，作为样本函数的统计量，也是随机变量。
这里“不含任何未知参数”是要求样本函数中除样本外不含任何知成分。

例如：
样本中各数据的算术平均数称为样本均值，记为:

\[\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \]

样本方差，记为:

\[S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x} )^2 \]

样本标准差，记为:

\[S = \sqrt{S^2 } \]

这是较为简单的样本函数，又不含未知参数，故是统计量。

因为简单，故使用较为频繁。但其统计思想较为深刻，因为平均可以消除很多随机干扰。

譬如，某市无人售票的公共汽车实行单一票价:2元/人次。几年来，乘客与公交公司都很满意，都认为“公平”。这里的公平只是平均来说才存在的，并不是存在于每次乘车。因此单一票价是依据以往多级票价的样本均值而作出的。

又如降压药的疗效是根据一组高血压病人服用此种降压药后（如一周后)平均降压多少而确定的，不是仅看一两个人降压多少而定的。因为人群中个体间的差异很大，且这种差异带有随机性，时大时小，时正时负，以不可测的随机方式呈现在我们面前，所以从个体去认识总体常会出现偏差。从样本认识总体可减少此种偏差，如样本均值可以抵消大部分偏差，出现较为稳定的值，参与平均的个体越多，平均数的稳定性越好。药检部门就是根据平均疗效来核准某种药物是否可以上市出售的。
有段时间减肥药的广告很多。“××明星吃了我们的减肥药，十天体重减了3公斤”，“×××老干部吃了我们的减肥药，一个月减少10公斤体重”，“快来买吧，立即打电话，价格还可优惠”……你相信这些广告吗?由于制造商拿不出有说服力的样本均值（100位肥胖的人服用了你的减肥药，一个月内平均可减少体重多少公斤)，而企求名人效应来推销它的减肥药，只能用极其罕见的个体数据来做广告，欺骗缺乏平均数等统计知识的人群。在这个充满随机现象的现实世界里，平均数比个体数据更具说服力。

估计量

在对总体分布作出假定的情况下，从样本对总体的某些特征作出一些推理，称为统计推断。

费希尔(R.A.Fisher，1890—1962)把统计推断归为如下三大类:

• 抽样分布〈精确的与近似的);
• 参数估计（点估计与区间估计);
• 假设检验（参数检验与非参数检验)。
  缺少统计量，上面这三个统计推断就很难进行

定义：
用于估计未知参数的统计量称为 点估计（量），或简称为 估计（量）。
参数 \(\theta\) 的估计量常用 \(\widehat{\theta} = \widehat{\theta} （x_1，x_2，...x_n）\)表示，参数 \(\theta\) 的可能取值范围称为参数空间，记为 \(\Theta =\left \{ {\theta } \right \}\)

这里的参数包括：分布中含有的未知参数；分布中的期望、方差、标准差、分位数等特征数；某件事的概率等。

评价估计量的优劣

一个参数的估计量常不止一个。常用的评价标准有多个，如无偏性、有效性、均方误差最小与相合性

无偏性

设\(\widehat{\theta} = \widehat{\theta} （x_1，x_2，...x_n）\)是参数 \(\theta\) 的一个估计，若对于参数空间 \(\Theta =\left \{ {\theta } \right \}\) 中的任一个\(\theta\) 都有

\[E\left ( \hat{\theta } \right ) = \theta 或 E\left ( \hat{\theta } -\theta \right ) = 0 , \forall \theta \in \Theta \]

则称\(\widehat{\theta}\)为\(\theta\)的无偏估计，否则称为\(\theta\)的有偏估计。
当估计\(\widehat{\theta}\)随着样本量 n 的增加而逐渐趋于其真值\(\theta\)，这时若记\(\widehat{\theta}\)=\(\widehat{\theta}_n\)，则有

\[\lim_{n \to \infty} \left ( \hat{\theta}_n \right ) =\theta , \forall \in \Theta \]

则称\(\widehat{\theta}_n\)为\(\theta\) 的渐近无偏估计。

当我们使用无偏估计 \(\hat{\theta }\) 去估计 \({\theta}\) 时，每次的实现值 \(\hat{\theta }\) 对 \({\theta}\) 的偏差\(\hat{\theta }-{\theta}\)总是存在的。
由于样本的随机性，这种偏差时大时小，时正时负，而把这些偏差平均起来其值为0，这就是无偏估计自的含义。所以无偏是指无系统偏差。

若一个估计不具有无偏性，估计均值 \(E\left ( \hat{\theta } \right )\) 与参数真值 \(\theta\) 总有一定距离，这个距离就是系统偏差。这就是有偏估计的缺点。

渐近无偏估计是指系统偏差会随着样本量 n 的增加而逐渐减小，最后趋于 \(\theta\) ，所以在大样本场合此种有偏估计 \(\hat{\theta }_n\) ，可以近似当作无偏估计使用。

参考：

[1]数理统计学(2版)/茆诗松等编著.北京：中国人民大学出版社，2016.1