統計推斷是指，在數理統計中，我們研究的隨機變量，其分布是未知的，或者是不完全知道的，人們是通過對所研究的隨機變量進行重復獨立的觀察，得到許多觀察值，對這些數據進行分析，從而對所研究的隨機變量的分布做出種種推斷。
一，隨機樣本
總體和個體 在數理統計中，研究對象是某一項數量指標（例如，學生的身高，體重等），對這一項數量指標進行觀察。把試驗的全部可能的觀察值稱為總體，每一個可能的觀察值稱為個體。
總體中的每一個個體是隨機試驗的一個觀察值，因此，它是某一隨機變量X的值。一個總體就對應一個隨機變量X，對總體的研究就是對一個隨機變量X的研究。
樣本 在實際中，總體的分布一般是未知的，或只知道它具有某種形式而其中包含了未知參數。在數理統計中，人們都是通過從總體中抽取一部分個體，根據獲得的數據對總體分布做出推斷，被抽出的部分個體叫做總體的一個樣本。
所謂從總體抽取一個個體，就是對總體X進行一次觀察並記錄觀察結果。在相同的條件下對總體X進行n次重復的，獨立的觀察，把n次觀察的結果按照試驗的次序記為：X1,X2,...,Xn，
由於X1,X2,...,Xn是對隨機變量X觀察的結果，且各次觀察是在相同的條件下獨立進行的，所以有理由認為X1,X2,...,Xn是相互獨立的，且都與X具有相同分布的隨機變量，把X1,X2,...,Xn 稱為來自總體X的一個簡單隨機樣本。
當n次觀察一經完成，得到一組實數x1,x2,...,xn，它們依次是隨機變量X1,X2,...,Xn的觀察值，稱為樣本值。
樣本 定義， 設X是具有分布函數F的隨機變量，若 X1,X2,...,Xn 是具有同一分布函數F的，相互獨立的隨機變量，則稱 X1,X2,...,Xn 為從分布函數F（或總體F，總體X）得到的簡單隨機樣本，簡稱樣本。它們的觀察值 x1,x2,...,xn稱為樣本值，又稱為X的n個獨立的觀察值。
若 X1,X2,...,Xn 為總體X的一個樣本，則X1,X2,...,Xn相互獨立，且它們的分布函數都是F(x)，所以(X1,X2,...,Xn)的分布函數是：
白話：隨機變量X1,X2,...,Xn同時發生的概率是單獨發生的概率之積。
二，統計量
樣本是進行統計推斷的依據，在應用時，往往不是直接使用樣本本身，而是針對不同的指標構造樣本的適當函數（即統計量），利用統計量進行統計推斷。
1，統計量的定義
定義 設X1, X2, ..., Xn是來自總體X的一個樣本，g(X1, X2, ..., Xn)是樣本X1, X2, ..., Xn的函數，若g中不含未知數，則稱 g(X1, X2, ..., Xn) 是一個統計量。
因為 X1, X2, ..., Xn 都是隨機變量，而統計量g(X1, X2, ..., Xn)是隨機變量的函數，因此統計量是一個隨機變量。設x1，x2，...，xn是相應於樣本X1，X2，...，Xn的樣本值，則稱g(x1，x2，...，xn)是g(X1, X2, ..., Xn)的觀察值。
2，常用的統計量
統計量是隨機變量的一個函數，是對樣本的一個量化指標，常用的統計量是：
樣本均值：
樣本方差：
，注意是S2的分母是n-1
樣本k階矩，ak是原點距，mk是中心距：
3，經驗分布函數
經驗分布函數是與總體分布函數F(x)相對應的統計量，也就是說，經驗分布函數是一個統計量，只不過是隨機變量X的分布函數的函數。
記經驗分布函數Fn(x)=S(x)，表示X1, X2, ..., Xn中不大於x的隨機變量的個數。
一般，設x1,x2,...,xn是總體F的一個容量為n的樣本值，先將x1,x2,...,xn按照自小到大的次序排列，並重新編號，設為x(1) <= x(2)<=...<=x(n)
那么經驗分布函數Fn(x)的觀察值為：
為什么 要定義經驗分布函數呢？接下來介紹一個最重要的定理：格里紋科定理。
設x1,x2,...xn是取自總體分布函數為F(x)的樣本，Fn(x)是其經驗分布函數，當n→∞時，有
也即是說當n足夠大時，經驗分布函數是總體分布函數F(x)的一個良好的近似。格里紋科定理表明，當樣本數足夠多時，用樣本估計總體是合理的，這即是數理統計的基礎。
4，經驗分布函數圖形
求經驗分布函數Fn(x)在一點x處的值，只要求出隨機變量X的n個觀測值(x1,x2,..,xn)中小於或等於x的個數，再除以觀測次數n即可。由此可見，經驗分布函數Fn(x)就是在n次重復獨立實驗中事件{X<=x}出現的頻率。
經驗分布函數Fn(x)的圖形是一條呈跳躍上升的。
如果樣本觀測值(x1,x2,..,xn)中沒有重復的數值，則每一跳躍為1/n。圖中圓滑曲線是總體X的理論分布函數F(x)的圖形。若把經驗分布函數的圖形連成折線，那么它實際就是累積頻率直方圖，這和概率分布函數的性質是一致的。
三，抽樣分布
統計量的分布稱為抽樣分布，在使用統計量進行統計推斷時，常需要直到它的分布。當總體的分布函數已知時，抽樣分布是確定的，然而要求出統計量的精確分布，一般來說是困難的。
統計量的三大分布是指卡方分布（χ2分布）、t分布和F分布，是來自正態總體的三個常用的抽樣分布，下文會詳細介紹，此處略。
1，關於樣本均值和方差的重要結論
設總體X(不管服從什么分布，只要均值和方差村子啊)的均值為μ，方差為σ； X1,X2,...,Xn是子來自總體X的一個樣本，
和S2分別是樣本均值和樣本方差，
則有E()=μ，D()=σ2/n，E(S2)=σ2。
2，正態總體的樣本均值與樣本方差的分布
定理一：設 X1,X2,...,Xn是來自正態總體N(μ,σ2)的樣本，那么是樣本均值，則有
設統計量 Z，n為樣本容量，μ為樣本均值，S為樣本標准差，
那么Z服從標准正態分布，即Z~N(0,1)，這就是在假設檢驗中用到的Z檢驗統計量。
定理二：設 X1,X2,...,Xn是來自正態總體N(μ,σ2)的樣本，和S2分別是樣本均值和樣本方差，則有
設卡方統計量χ2，那么該統計量服從卡方分布，即χ2~χ2(n-1)，這就是假設檢驗中經常用到得卡方檢驗統計量。
定理三：設 X1,X2,...,Xn是來自正態總體N(μ,σ2)的樣本，和S2分別是樣本均值和樣本方差，則有
設統計量t，那么該統計量服從t分布，即t~t(n-1)，這就是假設檢驗中經常用到得t檢驗統計量。
定理四：（兩個正態總體的樣本均值和樣本方差的分布）
設X1,X2......Xn1和Y1,Y2..........Yn2分別是來自正態總體N(μ1,σ12)N(μ2,σ22)的樣本，且這兩個樣本相互獨立
分別是這兩個樣本的樣本均值和樣本方差，則有
參考文檔：