自然常數e的含義

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　　e是一個重要的常數，但是它的直觀含義卻不像 π 那么明了。我們都知道，圓的周長與直徑之比是一個常數，這個常數被稱為圓周率，記作 π = 3.14159......可是e代表什么呢？

　　e是“指數”（exponential）的首字母，也是歐拉名字的首字母。和圓周率 π 及虛單位 i 一樣，e是最重要的數學常數之一。第一次把e看成常數的是雅各布·伯努利，他開始嘗試計算lim(1+1/n)^n 的值，1727年歐拉首次使用小寫字母 “e” 表示這常數，此后遂成標准。

　　e有時被稱為自然常數（Natural constant），是一個約等於2.71828182845904523536……的無理數。

　　以e為底的對數稱為自然對數（Natural logarithm），數學中使用自然（Natural）這個詞的還有自然數（Natural number）。對於這個自然（Natural）如何理解，就需要發揮你的想象力了！

e是增長的極限

　　簡單來說，e就是增長的極限！

　　下面這個例子就是對e直觀含義的極好詮釋：

　　1. 某種類的一群單細胞生物每24小時全部分裂一次。在不考慮死亡與變異等情況下，那么很顯然，這群單細胞生物的總數量每天都會增加一倍。據此我們可以寫出它的增量公式：

　　　　　　growth = 2 * X （X表示天數）

　　改寫：

　　　　　　growth = （１＋100%） * X   （100%表示單位時間內（24小時）的增長率）

　　2. 根據細胞生物學，每過12個小時，也就是分裂進行到一半的時候，平均會新產生一半原數量的新細胞，新產生的細胞在之后的12小時內已經在分裂了。因此一天24個小時可以分成兩個階段，每一個階段的細胞數量都在前一個階段的基礎上增長50%：

　　　　　　

　　即在一個單位時間內，這些細胞的數量一共可以增至為原數量的2.25倍。

　　

　　3. 若這種細胞每過8小時就可以產生平均1/3的新細胞，新生細胞立即具備獨立分裂的能力，那就可以將1天分成3個階段，在一天內時間細胞的總數會增至為：

　　             

 

　　4. 實際上，這種分裂現象是不間斷、連續的，每分每秒產生的新細胞，都會立即和母體一樣繼續分裂，一個單位時間(24小時)最多可以得到多少個細胞呢？答案是：

　                  　

 

　　當增長率為100%保持不變時，在單位時間內細胞種群最多只能擴大2.71828倍。 數學家把這個數就稱為e，它的含義是單位時間內，持續的翻倍增長所能達到的極限值 。

　　這個值是自然增長的極限，是“自然律”的精髓所在，因此以e為底的對數，就叫做自然對數。

                 

 

你不會自成“大款”——到e為止

　　有了這個值以后，計算銀行的復利就非常容易。

　　1. 假定有一家銀行，每年的復利是100%，請問存入100元，一年后可以拿多少錢？

                        

　　2. 但是事實上，存儲利息沒有這么高，如果復利率只有5%，那么100元存一年可以拿到多少錢呢：

                             

　　3. 我們知道，在100%利息率的情況下，n=1000時，下式的值非常接近e：

　　　　　　　     　

　　4. 為了便於思考，取n等於50：

　　                        

　　　　當利息率是5%時，存款增長率就相當於e的20分之一次方：

　　　　　　　　　　  

　　　　1/20正好等於5%，所以我們可以把上式改寫成：

　　　　　　　　　　　　　　　　rate表示利率！

　　5. 再考慮時間因素，如果存款年限t年，那么存款最終增長率為：

　　　　　　　　　　　　

　　　　這說明e可以用於任何連續不斷的復合式增長率的計算，而上式也是這個增長率的通用計算公式。

 

　　那么，如果銀行的利息率是5%的復利，求解100元存款翻倍需要多少時間就等價於解下面的方程：

                                 

　　計算結果得13.86年：

　　　　　　　　　　　　

　　可以看到：用72除以增長率就是翻倍的大致時間。這正是經濟學上著名的72法則。