第七題
- 原題：在這道習題中，我們探討CRC的某些性質。對於在6.2.3節中給出的生成多項式G（=1001），回答下列問題：
a.為什么它能夠檢測數據D中的任何單比特差錯？
b.上述G能夠檢測任何奇數比特差錯嗎？為什么？
- 解題思路：本題思路很簡單，將題目轉換一下，就是一個能被G模2整除的數，如果突然增大某個值，那么它還能被G模2整除嗎？注意：根據第六章內容，模2運算加不進位、減不借位，因此可以認為都是增大某個值。
- a問題解答：如果第i位比特被翻轉，則被校驗的數大小變為：K = (D * 2r) XOR R + 2i，其中(D * 2r) XOR R這部分能被G模2整除，剩下的2i是否能被G模2整除呢？答案是不能，因為G中有2位是1，明顯是除不盡的。
- b問題解答：可以注意到，G=1001這個數能被11模2整除，但是任何包含奇數個1的數（這些1不必要連續）不能被11模2整除。因此能夠檢測出來。
第八題
- 原題：在6.3節中，我們提供了時隙ALOHA效率推導的概要。在本習題中，我們將完成這個推導。
a.前面講過，當有N個活躍節點時，時隙ALOHA的效率是Np(1-p)
N-1
。求出使這個表達式最大化的p值p*。
b.使用在（a）中求出的p值，令N接近於無窮，求出時隙ALOHA的效率。（提示：當N接近於無窮時，(1 - 1/N)N接近於1/e。）
- 解題思路：涉及到一些高等數學求導和極限的知識。
- a問題解答：對於一個連續函數的最大值，我們可以通過求導的方式來計算，
| 原式 f(p) = Np(1-p)N-1 則其導數 f`(p) = (Np)`(1-p)N-1 - Np((1-p)N-1)` = N(1-p)N-1 - Np(N - 1)(1-p)N-2 = N(1-p)N-2((1 - p) - p(N - 1)) = N(1-p)N-2(1 - pN) 當導數為0時，能取到最大值，則此時p=1/N，即p*=1/N。 |
- b問題解答：將a問題求出的p*帶入原式，變形為N*1/N(1 - 1/N)N-1=(1 - 1/N)N-1。接下來就是求該式的當N->∞時的極限了
| limn->∞(1 - 1/N)N-1 = limn->∞（(1 - 1/N)N/(1 - 1/N)) 由於limn->∞(1 - 1/N)N = 1/e，limn->∞(1 - 1/N) = 1 所以上式值為1/e |
第九題
- 原題：說明純ALOHA的最大效率是1/(2e)
- 解題思路：同第八題。
- 問題解答：先通過求導的方式求得最大值，然后求極限
| 原式 f(p) = Np(1-p)2(N-1) step1.首先仍然是使用求導的方式得到p=1/(2N-1)時，原始能取得最大值。 step2.將p=1/(2N-1)代入到原式，得到f(N) = N/(2N-1) * (1 - 1/(2N-1))2(N-1) 使用換元法湊多項式(1-1/N)N，令t=2N-1，則N=(t+1)/2 因此f(N) = (t+1)/2t * (1-1/t)t-1 = (t+1)/2t * ((1-1/t)t/(1-1/t)) = (t+1)/2t * t/(t-1) * (1-1/t)t = (t+1)/2(t-1) * (1-1/t)t 由於t->∞，所以limt->∞f(t) = limt->∞(t+1)/2(t-1) * (1-1/t)t = limt->∞(t+1)/2(t-1) * limt->∞(1-1/t)t = 1/2 * 1/e = 1/2e |
第十八題
- 原題：假設節點A和節點B在同一10Mbps廣播信道上，這兩個節點的傳播時延為325比特時間。假設對這個廣播信道使用CSMA/CD和以太網分組。假設節點A開始傳輸一幀，並且在它傳輸結束之前節點B開始傳輸一幀。在A檢測到B已經傳輸之前，A能完成傳輸嗎？為什么？如果回答是可以，則A錯誤地認為它的幀已成功傳輸而無碰撞。提示：假設在t=0比特時刻，A開始傳輸一幀。在最壞的情況下，A傳輸一個512+64比特時間的最小長度的幀。因此A將在t=512+64比特時刻完成幀的傳輸。如果B的信號在比特時間t=512+64比特之前到達A，則答案是否定的。在最壞的情況下，B的信號什么時候到達A？
- 解題思路：首先確認一個大前提，那就是B如果檢測到有A流量，則也不會進行發送幀，所以最壞情況是在A的第一比特剛好要到B時，B開始發送。
- 問題解答：基於解題思路，我們以A的第一比特傳輸軌跡進行參考，如圖，第一比特在X1、X2、X3這幾個地方，B均能發出幀。如果B的幀在A傳數據之前到達A，A就能檢測到；如果不能，就無法檢測到，所以B最晚能在324比特時刻（也就是A的第一比特即將到達B）發送第一比特，該比特在324+325=649比特時間到達A，而A的幀長只有576比特時間，所以A已經發送完畢了，無法檢測到碰撞。
第十九題
- 原題：假設節點A和節點B在相同的10Mbps廣播信道上，並且這兩個節點的傳播時延為245比特時間。假設A和B同時發送以太網幀，幀發生了碰撞，然后A和B在CSMA/CD算法中選擇不同的K值。假設沒有其他節點處於活躍狀態，來自A和B的重傳會碰撞嗎？為此，完成下面的例子就足以說明問題了。假設A和B在t=0比特時間開始傳輸。它們在t=245比特時間都檢測到了碰撞。假設KA=0，KB=1。B會將它的重傳調整到什么時間？A在什么時間開始發送？（注意：這些節點在返回第2步之后，必須等待一個空閑信道，參見協議。）A的信號在什么時間到達B呢？B在它預定的時刻抑制傳輸嗎？
- 解題思路：對CSMA/CD的協議要足夠了解，其中最容易出錯的是節點先等待，再返回第二步，並且在第二步時必須等待一個空閑信道，才能發送。
- 問題解答：下面是一個時間流水線圖
| 時刻 | 事件 |
| 0 | A和B開始傳輸 |
| 245 | A和B檢測到碰撞 |
| 293 | A和B完成jam signal信號傳輸。jam signal：阻塞信號，當檢測到沖突后，停止原幀發送，並發送一個6字節大小的阻塞信號，這一點在書中並未講到 |
| 293 + 245 = 538 | B最后一個比特（阻塞信號的比特）達到A；A檢測到一個空閑的信道 |
| 538 + 96 = 634 | A開始傳輸，這里的96是A對空閑信道的持續檢測比特數 |
| 293 + 512 * 1 = 805 | B等待512比特后，返回第2步，然后開始偵測空閑信道（96比特時間） |
| 634 + 245 = 879 | A第一比特到達B |
| 805 + 96 = 901 | B對空閑信道偵測完畢，在805~901期間，A比特到達B，所以B會抑制傳輸 |
第二十題
- 原題：在這個習題中，你將對一個類似於CSMA/CD的多路訪問協議的效率進行推導。在這個協議中，時間分為時隙，並且所有適配器都與時隙同步。然而，和時隙ALOHA不同的是，一個時隙的長度（以秒計）比一幀的時間（即傳輸一幀的時間）小得多。令S表示一個時隙的長度。假設所有幀都有恆定長度L=kRS，其中R是信道的傳輸速率，k是一個大整數。假定有N個節點，每個節點都有無窮多幀要發送。我們還假設dprop < S，以便所有節點在一個時隙時間結束之前能夠檢測到碰撞。這個協議描述如下：（1）對於某給定的時隙，如果沒有節點占有這個信道，所有節點競爭該信道；特別是每個節點以概率p在該時隙傳輸。如果剛好有一個節點在該時隙中傳輸，該節點在后續的k-1個時隙占有信道，並傳輸它的整個幀；（2）如果某節點占用了信道，所有其他節點抑制傳輸，直到占有信道的這個節點完成了該幀的傳輸為止。一旦該節點傳輸完它的幀，所有節點競爭該信道。注意到此信道在兩種狀態之間交替：“生產性狀態”（它恰好持續k個時隙）和“非生產性狀態”（它持續隨機數個時隙）。顯然，該信道的效率是k/(k+x)，其中x是連續的非生產性時隙的期望值。
a.對於固定的N和p，確定這個協議的效率。
b.對於固定的N，確定使該效率最大化的p值。
c.使用在(b)中求出的p（它是N的函數），確定當N趨向無窮時的效率。
d.說明隨着幀長度變大，該效率趨近於1。
- 解題思路：根據題目意思，k/(k+x)即在一個固定k+x長度的時隙中，k是傳輸時隙，x是空閑時隙。由於一個幀長度持續k個時隙，並且中間是不可分割的，我們也可以認為是“經過x個空閑時隙后，才出現一個傳輸時隙”，這符合我們的幾何分布模型（即在n次伯努利試驗中，試驗k次才得到第一次成功的機率。詳細地說，是：前k-1次皆失敗，第k次成功的概率。幾何分布是帕斯卡分布當r=1時的特例）。
- a問題解答：使用幾何分布期望公式
| 令Y是一個隨機數，它表示首次出現傳輸時隙時所有的時隙總數： P(Y=m) = β(1-β)m-1 m=1,2,3,4··· 其中β是多節點競爭下傳輸時隙出現的概率，即β=Np(1-p)N-1 根據幾何分布期望公式，Y的期望為： E[Y] = 1/β 又因為Y是總次數期望，而最后一個是成功，則前面失敗次數的期望為： x = E[X] = E[Y] - 1 = (1-β)/β 將β的值Np(1-p)N-1代入上式，得到 x = (1 - Np(1-p)N-1)/(Np(1-p)N-1) 再將x的值代入k/(k+x)，得到k/(k + [(1 - Np(1-p)N-1)/(Np(1-p)N-1)]) |
- b問題解答：要使a中得到的協議效率最大化，在N固定的情況下（注意K也是固定的生產時隙大小），則分母要最小
| k + (1 - (Np(1-p)N-1) /(Np(1-p)N-1)) = k - 1 + 1/(Np(1-p)N-1) 則Np(1-p)N-1要最大，這個就是我們前面推導的時隙ALOHA在N固定時，p取何值能做到效率最大的問題。我們知道p取1/N時，該式子能取到最大值。 也即當p=1/N時，該協議效率最大 |
- c問題解答：同樣利用時隙ALOHA的結論直接做解答
| 將p=1/N代入到a問題的答案中，得到 效率 = k / (k + (1 - (1-1/N)N-1)/((1-p)N-1))) 所以 limN->∞效率 = k / (k + (1-1/e)/(1/e)) = k / (k+e-1) |
- d問題解答：意思是對c中的結果，求k->∞的極限
| limk->∞f(k) = limk->∞k / (k+e-1) 分子分母次冪相同，則極限為1 |
第二十三題
- 原題：考慮圖6-15。假定所有鏈路都是100Mbps，在該網絡中的9台主機和兩台服務器之間，能夠取得的最大總聚合吞吐量是多少？你能夠假設任何主機或服務器能夠向任何其他主機或服務器發送分組？為什么？
- 解題思路：在書中講到交換機是無碰撞、全雙工的，且每個接口速率相互獨立，根據這三個特點，我們來分配流量。在分配流量過程中，盡量避免瓶頸效應。
- 問題解答：設電氣工程系為A，其中三台主機標記為A1、A2、A3；計算機科學系為B，包含B1、B2、B3三台主機；計算機工程系為C，包含C1、C2、C3三台主機。流量分配策略為：
| （1）A1<->A2：100Mbps全雙工 （2）B1<->B2：100Mbps全雙工 （3）C1<->C2：100Mbps全雙工 （4）web服務器<->A3：100Mbps全雙工 （5）mail服務器<->B3：50Mbps全雙工 （6）mail服務器<->C3：50Mbps全雙工 （7）B3<->C3：50Mbps全雙工 總流量：(100 * 4 + 50 * 3) * 2 = 1100Mbps 其中乘以2是因為全雙工的原因，同時上行和下行 |
第二十四題
- 原題：假定在圖6-15中的3台連接各系的交換機用集線器來代替。所有鏈路是100Mbps。現在回答習題23中提出的問題。
- 解題思路：類似於23題，但是由於各個系的交換機編程了集線器，而集線器是一個物理層設備，且有廣播域沖突，因此將每個系的所有主機加上集線器都簡化成一台與交換機連接的主機，且速率為100Mbps。
- 問題解答：設電氣工程系為A，計算機科學系為B，計算機工程系為C。流量分配策略為：
| （1）web服務器<->A：100Mbps全雙工 （2）mail服務器<->B：50Mbps全雙工 （3）mail服務器<->C：50Mbps全雙工 （4）B<->C：50Mbps全雙工 總流量：(100 + 50 * 3) * 2 = 500Mbps 其中乘以2是因為全雙工的原因，同時上行和下行 |