1 實驗原理
在本實驗中均是假設的准靜態平坦衰落，即多徑中每個徑到達的時間差都 差不多，遠小於一個符號的碼元周期。而且信道隨時間變化比較慢，在一個時 間選擇性衰落的周期內。這樣經過信道的相移就可以准確估計出來，首先根據 上個實驗已知 BPSK 調制在 AWGN 信道下的誤碼率為：
\[P_{e}=\mathrm{Q}\left(\sqrt{\frac{2 \varepsilon_{b}}{N_{0}}}\right) \tag{1} \]
由於可以估計出相位，此時的接收信號可以用下式表示：
\[r(t)=\alpha s(t)+n(t) \tag{2} \]
其中 $ \alpha$ 就是對信號幅度的影響，即服從瑞利分布。對於某一個特定的 \(\alpha\)，此時的接收端信噪比變成了\(\frac{\alpha^2\varepsilon_{b}}{N_0}\) ，所以此時的 BPSK 誤碼率可以表示成：
\[P_{e,\alpha}=\mathrm{Q}\left(\sqrt{\alpha^2\frac{2 \varepsilon_{b}}{N_{0}}}\right) \tag{3} \]
由於 \(\alpha\) 是個隨機變量，所以應該對 \(\alpha\) 進行積分運算求誤碼率：
\[P_{e, B P S K}=\int_{0}^{\infty} P_{e,\alpha}\cdot\underbrace{\frac{\alpha}{\sigma^{2}} e^{-\frac{\alpha^{2}}{2 \sigma^{2}}}}_{\text {Rayleigh }} d \alpha \tag{4} \]
最終得到BPSK在瑞利信道下的理論誤碼率公式為：
\[P_{e,BPSK}=\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{\frac{\bar{\gamma}_{b}}{1+\bar{\gamma}_{b}}}\right) \tag{5} \]
其中 \(\bar{\gamma}_{b}\) 是平均信噪比，即：
\[\bar{\gamma}_{b}=\frac{\varepsilon_{b}}{N_{0}} E\left(\alpha^{2}\right) \tag{6} \]
對於BPSK誤碼率和誤比特率是一樣的
2 實驗仿真
仿真結果如下圖所示：
- 瑞利衰落信道即服從復高斯分布，實部和虛部是均值為0、方差為\(\sigma^2\)的獨立同分布高斯隨機變量。注意這里的方差和后面計算平均信噪比的 \(E\left(\alpha^{2}\right)\) 有關：\(E\left(\alpha^{2}\right)=2\sigma^2\)。仿真的時候要前后對應上。
- 未估計出信道指的是對經過瑞利信道的信號直接進行接收判決，這時候基本上誤碼率在50%，和瞎猜一樣。
3 仿真代碼
%% 初始化參數
clc
clear
close all;
M = 2;
nsymbol = 100000; %原始數據長度
SNR_dB = 0:35; %信噪比dB形式
data_source = round(rand(1,nsymbol)); %生成二進制隨機序列
%% 坐標點映射
data_send = (data_source - 1/2)*2;
%%
Eb = norm(data_send).^2/nsymbol; %每比特能量
snr = 10.^(SNR_dB/10);
N0 = Eb./snr;
sigma=sqrt(N0/2);
sigma_rayleigh = 1; %復高斯分布的方差，實部和虛部方差分別除以2
h=(normrnd(0,sqrt(sigma_rayleigh),...
[1 nsymbol])+i*normrnd(0,sqrt(sigma_rayleigh),[1 nsymbol]))/sqrt(2);
r = abs(h); %取幅度值
for Eb_N0 = 1:length(SNR_dB)
n=sigma(Eb_N0)*randn(1,nsymbol) + 1j*sigma(Eb_N0)*randn(1,nsymbol);
receive=data_send.*h+n; %加噪聲
m1 = find(real(receive) > 0);
m2 = find(real(receive) <= 0);
redata(m1) = 1;
redata(m2) = 0;
% =====================
% 假設已經估計出了信道相位
% =====================
receive_estimated = data_send.*r+n; %「1」估計出相位后只影響幅度
%receive_estimated = receive./h; %「2」或者直接用接收信道除上CSI
m3 = find(real(receive_estimated) > 0);
m4 = find(real(receive_estimated) <= 0);
redata_estimated(m3) = 1;
redata_estimated(m4) = 0;
[total,~]=symerr(data_source,redata);
[total_estimated,~]=symerr(data_source,redata_estimated);
Pe_simu(Eb_N0) = total/nsymbol; %未估計出信道的仿真誤碼率
Pe_simu_estimated(Eb_N0) = total_estimated/nsymbol; %已估計出信道的仿真誤碼率
Pe_theory(Eb_N0) = ...
(1-sqrt(sigma_rayleigh*snr(Eb_N0)/(1+sigma_rayleigh*snr(Eb_N0))))/2; %理論誤碼率
Pe_theory_Awgn(Eb_N0) = qfunc(sqrt(2*snr(Eb_N0))); %高斯信道下的理論誤碼率
end
figure(1);
semilogy(SNR_dB,Pe_simu,'-r*',SNR_dB,Pe_simu_estimated,...
'M-X',SNR_dB,Pe_theory,'k-s',SNR_dB,Pe_theory_Awgn,'b-p');
grid on;
axis([0 35 10^-5 10^0])
title('BPSK調制信號在Rayleigh信道下的性能')
xlabel('信噪比/dB');
ylabel('誤碼率');
legend('BPSK仿真誤碼率（未估計出信道）', 'BPSK仿真誤碼率（已估計出信道）',...
'BPSK理論誤碼率', 'AWGN信道下理論誤碼率');