總體和分布
在一個統計問題中，我們把研究對象的全體稱為總體，其中每個成員稱為個體。
比如：
研究學齡前兒童這個總體，每個兒童就是一個個體，
每個個體都有很多側面，如身高、體重、血色素、性別等。
若我們進一步明確：研究對象是兒童的血色素(X）的大小，這樣一來每個個體(兒童）對應一個數。如果撤開實際背景，那么總體就是一堆數，這堆數中有的出現的機會大，有的出現的機會小，因此可以用一個概率分布來描述這個總體。
從這個意義上講，總體就是一個分布，其數量指標X就是服從這個分布的隨機變量。因此，常常用隨機變量的符號或分布的符號表示總體。比如我們說“從某總體中抽樣”和“從某分布中抽樣”是同一個意思。
總體還可以按個體數量分為有限總體和無限總體。
現實世界中大部分是有限總體。當個體個數很多以致不易數清時就把該總體看做無限總體。
有限總體將是抽樣調查和抽樣檢驗的研究對象。
樣本
樣本、樣品、樣本量（樣本容量）
研究總體分布及其特征數有如下兩種方法:
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(1）普查
又稱全數檢查，即對總體中每個個體都進行檢查或觀察。- 因普查費用高、時間長，不常使用，破壞性檢查（如燈泡壽命試驗）更不會使用。
- 只有在少數重要場合才會使用普查。
- 如我國規定每十年進行一次人口普查，期間九年中每年進行一次人口抽樣調查。
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(2）抽樣
即從總體抽取若干個體進行檢查或觀察，用所獲得的數據對總體進行統計推斷。
- 由於抽樣費用低、時間短，實際使用頻繁。
- 沒有抽樣就沒有統計學。
從總體中抽出的部分（多數場合是小部分）個體組成的集合稱為樣本
樣本中所含的個體稱為樣品
樣本中樣品個數稱為樣本量或樣本容量
由於抽樣前不知道哪個個體被抽中，也不知道被抽中的個體的測量或試驗結果，所以容量為 n 的樣本可看做 n 維隨機變量，用大寫字母表示容量為 n 的樣本
用小寫字母表示其觀察值，這就是我們常說的數據
一切可能觀察值的全體 \(\chi =\left \{ \left ( x_1，x_2，…，x_n \right ) \right \}\) 稱為n維樣本空間。
有時為了方便起見，不區分大小寫，樣本及其觀察值都用小寫字母\(x_1，x_2，…，x_n\)表示。當需要區分時會加以說明，也可從上下文中識別。
樣本來自總體，樣本必含總體信息。
機會大的（概率密度值大的）地方被抽中的樣品就多，而機會小的（概率密度值小的）地方被抽中的樣品就少;
分布分散，樣本也分散；分布集中，樣本也相對集中；分布有偏，樣本中多數樣品也偏向一側等。
樣本是分布的影子，見下圖。
抽樣方法
為了使所抽取的樣本能很好地反映總體，抽樣方法的確定很重要。
最理想的抽樣方法是簡單隨機抽樣，它滿足如下兩個要求:
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(1）隨機性：即要求總體中每個個體都有同等的機會被選到樣本中。說明樣本中每個 \(X_i\) 的分布相同，均與總體 \(X\) 同分布。
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(2）獨立性：樣本中每個個體的選取並不影響其他個體的選取。這意味着樣本中每個個體 \(X_i\) 是相互獨立的。
由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣本，簡稱樣本。
此時 \((X_1，X_2，…，X_n)\) 可以看成是相互獨立且服從同一分布的隨機變量，簡稱獨立同分布樣本。
如何才能獲得簡單隨機樣本呢? 下面例子中介紹的幾種方法可供參考。
有一批燈泡600只，現要從中抽取6只做壽命試驗，如何從600只燈泡中抽取這6只燈泡，使所得樣本為簡單隨機樣本?
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方案一：設計一個隨機試驗
先對這批燈泡從 000 ~ 599 編號。然后在600張紙質與大小相同的紙片上依次寫上 000 ~ 599，並把它們投入一個不透明的袋中，充分攪亂。最后不返回地抽出6張紙片，其上6個樣本號(462,078,519,312,167,103)所組成的樣本就是簡單隨機樣本。 -
方案二：利用隨機數表
用一大本隨機數表中的一頁（一般教材后面就有）。我們可以從該表任意位置開始讀數。仍把燈泡編號 000 ~ 599，設從該表的第一行第一列開始，以三列為一個數，從上到下讀出：537,633,358,634,982,026,645,850,585,358,039,626,084,...凡其值大於600的便跳過，如出現的數與前面重復也跳過，直到選出6個不超過600的不同數為止。現可將編號為537,358,026,585,039,084的6只燈泡取出測定其壽命。 -
方案三：可利用計算機產生6個 000 ~ 599 間的不同的隨機整數
譬如產生的隨機整數為80,568,341,107,57,166。取出這些編號所對應的燈泡進行試驗，測定其壽命。 -
方案四：用撲克牌設計一個隨機試驗
從一副撲克牌中剔去大小王及K，Q，J各四張，余下40張牌不分花色都當數字用，其中A代表1，10代表0，其他數字直接引用。在這些准備下，可從40張牌中進行有放回地抽取3張。每次抽取前洗牌要充分，抽取要隨機。約定第一張牌上的數字為個位數，第二張牌上的數字為十位數，第三張牌上的數字為百位數。若第三張牌上的數字為6～9，則作廢重抽，直到第三張牌上的數字不超過5為止。如此得到的三位數（如239）就是第一個樣本號，這樣重復5次，取得6個樣本號（如239,582,073,503,145,366)，選擇對應編號的樣品進行壽命試驗。
這里介紹的多種抽樣方法說明簡單隨機樣本並不難獲得，困難在於排除“人為干擾”，不要“怕麻煩”和“想偷懶”。很多事例表明，統計推斷常在抽樣階段出問題。
從樣本認識總體的圖表方法
樣本含有總體信息，但樣本中的數據常顯得雜亂無章，需要對樣本進行整理和加工才能顯示隱藏在數據背后的規律。
對樣本進行整理與加工的方法有圖表法和構造統計量。
這里將介紹幾種常用的圖表法，如頻數頻率表和直方圖。
頻數頻率表
當樣本量 n 較大時，把樣本整理為分組樣本可得頻數頻率表，它可按觀察值大小顯示出樣本中數據的分布狀況。
下面通過一個例子來詳述整理過程:
光通量是燈泡亮度的質量特征。現有一批220伏25瓦白熾燈泡要測其光通量的分布，為此從中隨機抽取120只，測得其光通量如表1.1.5所示。
為從這組數據中挖掘出有用信息，常對數據進行分組，獲得頻數頻率表，即分組樣本，具體操作如下:
（1）找出這組數據的最大值 \(x_{max}\) 與最小值 \(x_{min}\)，計算其差:
R 稱為極差，也就是這組數據所在的范圍。
在本例中 \(x_{max}\) = 226，\(x_{min}\) = 190，其極差為 R = 226 — 190 = 36。
（2）根據樣本量 n 確定組數 k 。
經驗表明，組數不宜過多，一般以5～20組較為適宜。可按表1.1.6選擇組數。
在本例中，n=120，擬分13組。
（3）確定各組端點 \(a_o < a_1 < …< a_x\)，通常 \(a_o < x_{min}\)，\(a_k > x_{max}\)。
分組可以等間隔，也可以不等間隔，但等間隔用得較多。
在等間隔分組時，組距 \(d \approx\frac{R}{k}\) 。
在本例中，取 \(a_0 = 189.5，d=36/13\approx3\) ，則有
（4）用唱票法統計落在每個區間 \((a_{i-1}，a_i](i=1，2，… ，k)\) 中的頻數 \(n_i\) 與頻率 \(f_i = n_i/n\)。
把它們按序歸在一張表上就得到了頻數頻率表，見表1.1.7。
從該表可以看出樣本中的數據在每個小區間上的頻數 \(n_i\) 與頻率 \(f_i\) 的分布狀態。
大部分數據集中在 209 附近，201.5 ~ 216.5間含有 77.5% 的數據。
為了使這些信息直觀地表示出來，可在頻數頻率表的基礎上畫出直方圖。
直方圖
根據上面的頻數頻率表可以得出，如下直方圖：
在樣本量較大的場合，直方圖常是總體分布的影子。
如圖1.1.6上的直方圖中間高，兩邊低，左右基本對稱。這很可能是“白熾燈泡光通量常是正態分布”的影子。
又如圖1.1.7上的兩個直方圖是不對稱的，是有偏的，其相應的總體可能是偏態的。
其中一個是右偏分布（見圖1.1.7a)；另一個是左偏分布（見圖1.1.7b)。
直方圖的優點
直方圖的優點是能把樣本中的數據用圖形表示出來。
直方圖的缺點
直方圖的缺點是不穩定，它依賴於分組，不同分組可能會得出不同的直方圖。所以從直方圖上可得總體分布的直觀印象，但認定總體分布還需用其他統計方法。
參考：
[1]數理統計學(2版)/茆詩松等編著.北京：中國人民大學出版社，2016.1