前言
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集合邏輯
| 知識 章節 |
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考點編號 | ★考點列舉★ | 關 聯 | ||||
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| 題型梳理 | 方法思維 | 變形融合 | 思維導圖 | 檢測習題 | ||||
| 集合命題常用邏輯用語 | 集合的概念、關系與運算 | A-01-001 | $\quad$集合的基本概念 | 細目題型列舉： ①元素的無序性、互異性的應用； ②集合與元素的關系； |
細目常見數集的符號：$N^*(N_+)$$\subsetneqq$$N$$\subsetneqq$$Z$$\subsetneqq$$Q$$\subsetneqq$$R$$\subsetneqq$$C$ ①元素的無序性、互異性的應用； ②集合與元素的關系； |
細目注意新定義題目 | ||
| A-01-002 | $\quad$集合間的基本關系 | 細目題型列舉： ①集合的包含關系，注意符號語言，如區別$A$$\subseteq$$B$和$A$$\subsetneqq$$B$； ②求集合的子集或真子集； ③集合的相等關系判斷； ④由集合的關系求參數的取值范圍，利用好數軸或韋恩圖； |
列舉方法列舉： ①$n$個元素的集合的子集個數為$2^n$個，真子集為$2^n-1$個，非空真子集為$2^n-2$個； ②通過解不等式化簡集合，再判斷相互關系； |
變形①注意相等關系：$A=B$ $\Leftrightarrow$ $A$$\subseteq$$B$且$B$$\subseteq$$A$ ②包含關系的等價性需要記憶：$A$$\subseteq$$B$ $\Leftrightarrow$ $A$$\cap$$B$$=$$A$ $\Leftrightarrow$ $A$$\cup$$B$$=$$B$ $\Leftrightarrow$ $C_UB$$\subseteq$$ C_UA$ $\Leftrightarrow$ $A$$\cap$$(C_UB)$$=$$\varnothing$ ③給定命題之間的充分必要條件可以轉化為集合之間的關系問題；函數在某區間上單調，可以轉化為集合的關系問題；習題 |
腦圖 | |||
| A-01-003 | $\quad$集合的基本運算 | 細目題型列舉： ①求交集、並集； ②集合的交集並集補集的綜合運算； ③利用集合的基本運算求參數的取值范圍； |
細目方法指導： ①注意通過元素的類型區分數集、點集、圖形集； ②對集合的化簡，，常需要通過解不等式來化簡集合； ③數形結合思想的應用，常用形式有數軸[注意區分端點的空心或實心]、坐標系、韋恩圖； |
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| 命題及其關系、充分條件與必要條件 | A-02-004 | $\quad$命題的四種形式及其關系 | 細目題型列舉： ①由原命題寫出其他三種命題； ②命題的真假判斷； |
細目注意：①原命題$\Leftrightarrow$逆否命題，逆命題$\Leftrightarrow$否命題，同真同假；②當命題有大前提，由原命題寫其他三種命題時必須保留大前提；③真假判斷其一：利用已學過的公式、定義、定理等直接法判斷，其二：利用正難則反的策略，判斷其等價命題的真假； |
說明命題的條件或結論中帶有否定詞或否定符號時常利用等價性判斷； |
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| A-02-005 | $\quad$充分條件與必要條件的判斷 | 說明充分條件與必要條件的判斷題目，可以利用初中高中階段的任何數學素材[比如不等式，函數，三角，數列，向量，導數，立體幾何，解析幾何等等]來考查，所以我們需要對每一個知識點都非常清楚才行。 | 方法判定方法：一定義法，必須確定條件是什么，結論是什么；二集合法，利用集合的包含關系來判定，注意小范圍可以推出大范圍；三等價轉化法，常用的是逆否等價法； | |||||
| A-02-006 | $\quad$充分條件與必要條件的應用 | 細目利用充分必要條件求參數的取值范圍； | 策略其一，利用命題之間的充分條件必要條件，轉化為集合的包含或相等關系，列出有關不等式[組]求解；其二，利用等價轉化思想求解，將復雜、生疏的問題轉化為簡單、熟悉的問題，如將$\neg p$，$\neg q$之間的關系轉化為 $p$，$q$ 之間的關系來求解。 | |||||
| 簡單的邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞 | A-03-007 | $\quad$判斷含邏輯聯結詞的命題真假 | 細目判斷含邏輯聯結詞的命題真假，即復合命題的真假判斷；需要利用真值表； | 方法一定結構，判斷復合命題的結構，二辨真假，辨析簡單命題的真假，三下結論，利用真值表判斷真假； | ||||
| A-03-008 | $\quad$全(特)稱命題的真假判斷及否定 | 題型其一，全(特)稱命題的真假判斷；其二，全稱命題和特稱命題的否定 | 方法全(特)稱命題的真假判斷：若為真，必須證明，若為假，舉反例；全(特)稱命題的否定：改寫量詞，否定結論； | 注意一、否命題和命題的否定的區別；二、$\cfrac{1}{x^2-3x+2}>0$的否定，可以從兩個角度求解，其一，解得原不等式的解集為$\{x\mid$$x<1$$或$$x>2\}$，由補集得到其否定為$[1,2]$；其二，由不等式直接得到其補集為$x^2$$-$$3x$$+$$2$$<0$或$x^2$$-$$3x$$+$$2$$=$$0$. | ||||
| A-03-009 | $\quad$利用命題的真假求參數的取值 | 題型一，利用復合命題的真假求參數的取值；二，利用全(稱)特稱命題的真假求參數的取值； | 方法一，根據給出的復合命題的真假推出每個命題的真假，由其對應的參數范圍再求解；二，轉化為恆成立問題或有解問題再求解； | 注意注意題目中常用說法的等價性： “若 $p\lor q$ 為真命題，$p\land q$ 為假命題”，則意味着 $p$ 、 $q$ 必然一真一假，需要分類討論：$p$ 真 $q$ 假；或 $p$ 假 $q$ 真； | ||||
函數導數
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| 函 數 導 數 及 其 應 用 |
函數及其表示 | B-01-010 | $\quad$求函數的定義域 | 列舉①給定函數解析式求定義域，其實質是列、解不等式組；②求復合函數的定義域；若$y=f(x)$的定義域為$(a,b)$，則解不等式$a$$< g(x)$$<$$b$即可求出$y=f(g(x))$的定義域；若$y=f(g(x))$的定義域為$(a,b)$，則求出$g(x)$在$(a,b)$上的值域即得到$f(x)$的定義域；③分段函數的定義域； | 方法①注意掌握不等式組的解法；②借助數軸簡化問題的求解，注意端點值的取舍；③求定義域的結果一般寫成集合或者區間；④$f(x)$$\pm$$g(x)$與$f(x)$$\cdot$$g(x)$得到的組合函數，其定義域是函數$f(x)$和$g(x)$的交集； | 注意對於復合函數，若題目給定$f(2x+1)$的定義域為$[1,2]$，是說$1$$\leqslant$$x$$\leqslant$$2$，而不是說$1$$\leqslant$$2x+1$$\leqslant2$；若求解函數$f(3x-1)$的定義域，其實就是求解$3x-1$的值域； | ||
| B-01-011 | $\quad$求函數的解析式 | 細目① 常規方法求解析式；②特殊方法求解析式 | 方法常見的方法有：①待定系數法適用於已知類型的函數；②換元法，分為代數換元和三角換元，化未知為已知類型；③配湊法，化未知為已知類型，這一方法常在分式函數中使用；④方程組法，適用於兩個自變量整體之和或之積為常數的類型；⑤奇偶性法和周期性法；⑦其他特殊方法； | |||||
| B-01-012 | $\quad$分段函數的圖像性質 | 說明①分段函數的圖像；②分段函數的定義域；③分段函數的值域；③分段函數的單調性；④分段函數奇偶性；⑤分段函數的周期性； | 方法①分段函數的每一段，主要是基本初等函數或初等函數，其圖像分段制作；②其定義域為每段的定義域的並集；③分段函數的值域是每段函數的值域的並集；④已知分段函數單調性求參數的取值范圍，需要每一段上限值其單調，且還需要在兩段的連接點處加以限制(最容易遺漏)；④分段函數的奇偶性判斷，需要在每一段上分別判斷；⑤分段函數的周期性，常涉及只向左或只向右有周期性； | 注意①分段函數不等式； ②已知分段函數的單調性，求參數的取值范圍 已知$a>0$，函數$f(x)$滿足$f(x)$$=$$\begin{cases}(3-a)x-3&x\leq 7\\a^{x-6} &x>7\end{cases}$，函數$f(x)$在$R$上單調遞增，求$a$的取值范圍。 |
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| B-01-013 | $\quad$抽象函數相關 | 細目用定義法證明抽象函數的單調性的兩個常用變形： ①$f(x_2)$$=$$f[(x_2-x_1)+x_1]$$=$$f(x_2-x_1)$$+$$f(x_1)$$-$$1$； ②$f(x_2)$$=$$f[(\cfrac{x_2}{x_1})\cdot x_1]$$=$$f(\cfrac{x_2}{x_1})$$+$$f(x_1)$ |
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| B-01-014 | $\quad$復合函數相關 | |||||||
| 函數的單調性與最值 | B-02-015 | $\quad$確定函數單調性或單調區間 | 細目①定義法；②圖像法；③導數法；④性質法，如$y=x$$\nearrow$，$y=x^3$$\nearrow$，則$y=x+x^3$$\nearrow$；⑤復合函數法； | 細目①定義域優先；②性質法詳情，增+增=增，增-減=增，減+減=減，減-增=減；③復合函數的拆分，如$y$$=$$\log_2{(x^2-3x+2)}$，拆分為$t$$=$$x^2$$-3x$$+$$2$和$y=\log_2{t}$ | ||||
| B-02-016 | $\quad$求函數的最值(值域) | 細目①單調性法；②圖像法；③基本不等式法；④導數法；⑤換元法[代數換元+三角換元]；⑥分離常數法；⑦反解法+有界性法； | 細目①定義域優先；②分式函數的常用變形，分式裂項，代換法或配湊法；③三角換元，如$f(x)$$=$$x$$+$$\sqrt{1-x^2}$，令$x$$=$$\cos\theta$，$\theta$$\in$$[0,\pi]$，這一點非常講究，需要我們仔細體會，則$f(x)$$=$$\cos\theta$$+$$|\sin\theta|$$=$$\cos\theta$$+$$\sin\theta$$=$$\sqrt{2}\sin(\theta+\cfrac{\pi}{4})$。 | |||||
| B-02-017 | $\quad$函數的單調性的應用 | 細目①利用單調性比較大小；②利用單調性解不等式[具體和抽象]，此時可能還需要用到其他性質，如定義域，奇偶性，周期性，對稱性等；③利用單調性求參數的取值范圍； | 細目①單調性法；②數形結合法； | 細目已知分段函數的單調性，求參數的取值范圍，常常需要控制每一段上單調，還要注意連接點處的關系，非常容易遺漏；比如已知單增，則左端的最大值或最大值的極限小於或等於右端的最小值或最小值的極限；已知單減，則左端的最小值或最小值的極限大於或等於右端的最大值或最大值的極限； | ||||
| 函數的奇偶性與周期性 | B-03-018 | $\quad$函數奇偶性的判斷及應用 | 細目①函數奇偶性的判斷；②函數奇偶性的應用； | 方法①判斷函數奇偶性，首先求解定義域，當關於原點對稱后，再判斷$f(-x)$與$-f(x)$是否相等，從而判斷；②利用奇偶性，可以求參數的值，可以求解析式； | 細目①當解析式中含有對數函數時，使用$f(-x)+f(x)=0$判斷奇偶性比利用$f(-x)=-f(x)$簡單的多；如$f(x)$$=$$\ln(\sqrt{x^2+1}+x)$的奇偶性判斷；②熟練記憶常見的奇偶函數 | |||
| B-03-019 | $\quad$函數的周期性 | 細目$f(x+2)=f(x)$，則$T=2$，但要注意$f(x+2)$$=$$-$$f(x)$，則$T$$=$$2$$\times$$2$$=$$4$，原因$f(x+4)$$=$$f[(x+2)+2]$$=$$-f(x+2)$$=$$-$$-$$f(x)$$=$$f(x)$；$f(x+2)=\cfrac{k}{f(x)}$($k\neq0$)，則 $T=4$，原因$f(x+4)$$=$$f[(x+2)+2]$$=$$\cfrac{k}{f(x+2)}$$=$$\cfrac{k}{\frac{k}{f(x)}}$$=$$f(x)$ | ||||||
| B-03-020 | $\quad$函數的奇偶性周期性與單調性 | 列舉題型梳理： ①求解函數不等式[給定具體函數]； ②求解函數不等式[給定抽象函數]； |
細目解抽象函數不等式的一般步驟：①(定性)確定函數 $f(x)$ 在給定區間上的單調性；②(轉化)將抽象函數不等式轉化為$f(M)< f(N)$ 的形式；③(脫去$f$)利用單調性去掉函數符號$\large{f}$ ，轉化為一般的不等式(組)；④(求解)求解上述的不等式組；⑤(反思)反思回顧，查看關鍵點，易錯點及解題規范。OK! | |||||
| 冪函數與二次函數 | B-04-021 | $\quad$冪函數 | ||||||
| B-04-022 | $\quad$二次函數的圖像與性質 | |||||||
| B-04-023 | $\quad$二次函數的綜合應用 | 細目①二次函數在限定區間上的值域[定軸定區間，定軸動區間，動軸動區間]；②二次函數恆成立問題； | ||||||
| 指數與指數函數 | B-05-024 | $\quad$指數冪的化簡與求值 | ||||||
| B-05-025 | $\quad$指數函數的圖像及性質 | 細目函數$f(x)$$=$$|2^x-1|$，對於不相等的實數$a$，$b$若滿足$f(a)$$=$$f(b)$，則$2^a$$+$$2^b$$=$$2$ | ||||||
| B-05-026 | $\quad$指數函數的圖像性質的應用 | |||||||
| 對數與對數函數 | B-06-027 | $\quad$對數化簡求值 | ||||||
| B-06-028 | $\quad$對數函數的圖像及性質 | 細目函數$f(x)$$=$$|\lg x|$，對於不相等的實數$a$，$b$若滿足$f(a)$$=$$f(b)$，則$ab$$=$$1$ | ||||||
| B-06-029 | $\quad$對數函數的圖像性質的應用 | |||||||
| 函數的圖像 | B-07-030 | $\quad$做函數的圖像 | ||||||
| B-07-031 | $\quad$識圖與圖像辨析 | |||||||
| B-07-032 | $\quad$函數的圖像與應用 | |||||||
| 函數與方程 | B-08-033 | $\quad$函數零點的判斷與求解 | ||||||
| B-08-034 | $\quad$零點存在性定理 | |||||||
| B-08-035 | $\quad$函數零點的應用 | |||||||
| 導數的概念及運算 | B-09-036 | $\quad$導數的運算 | ||||||
| B-09-037 | $\quad$導數的幾何意義 | |||||||
| 導數的應用 | B-10-038 | $\quad$求函數的單調區間 | ||||||
| B-10-039 | $\quad$由函數單調性求參數取值范圍 | 列舉題型梳理： ①給定函數的單調性，求參數的取值范圍； ②已知函數存在單調區間，求參數的取值范圍；$\quad$. |
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| B-10-040 | $\quad$求函數的極值與最值 | |||||||
| B-10-041 | $\quad$導數在不等式中的應用 | |||||||
| 定積分與微積分基本定理(文科不涉及) | B-11-042 | $\quad$定積分的計算 | 思路①利用公式法求解；②利用面積求解；③利用函數的奇偶性求解； | |||||
| B-11-043 | $\quad$利用定積分求圖形面積 | |||||||