點雙 & 邊雙連通圖計數的細節比較

前言

寫了兩個爛大街的東西，以及我研究時的一些阻礙和心路歷程。

點雙連通圖計數

設 \(b_i\) 表示 \(i\) 個點的有標號 無根 點雙連通圖個數。\(d_i\) 為 \(i\) 個點的 有根 連通圖個數，其 EGF 為 \(D(x) = \sum_i \frac{d_i}{i!}x^i\)。顯然 \(D(x)\) 可以用 城市規划 的方法求出（\(\ln\)）。

重點思考如何在點雙和連通圖之間建立關系。嘗試剖析有根連通圖的結構：一個根，周圍可能存在着一些點雙連通分量，然后這些點雙連通分量中的點又連着一些連通圖。然而這只是很籠統的概述，我們把它細化。

首先我們稱一個 有根 點雙以及下面連着的一些連通圖為“一個部分”。那么把若干個部分的根 疊合 在一起就是一個有根連通圖。對於每個部分，考慮除根之外的所有在包含根的點雙上的點，從這一個點雙到“一個部分”，可以視作是將這些點 替換成一個有根連通圖。

然后思考點雙部分怎么做。首先我們需要將根隔離開來。根據這個，寫出一個部分的式子：

\[\sum_{i\ge 1} \frac{b_{i+1}}{i!}\cdot D^i(x) \]

解釋：枚舉點雙的大小，包含根在內為 \(i+1\)，雖然實際上只有 \(i\) 個點可以換成有根連通圖，但點雙部分的連接方案是 \(b_{i+1}\)。\(D^i(x)\) 表示將 \(i\) 個點每個都替換成一個有根連通圖，但直接乘冪眾所周知是 有序 拼接，為了而顯然這不應該有序，於是 \(/i!\) 消除其順序。

然后設一個機智的 EGF：\(B(x)=\sum_{i}\frac{b_{i+1}}{i!} x^i\)，我們發現上式就是把 \(x\) 替換成了 \(D(x)\)，即 \(B(D(x))\)。

最后還要將這些部分組合，然后用一個根拼接，於是：

\[D(x) = x\exp B(D(x)) \]

然后套用擴展拉格朗日反演就可以 \(O(n\log n)\) 求出 \(B(x)\) 某一項的值了。

邊雙連通圖計數

和點雙用類似的思路，嘗試剖析連通圖的結構，建立其與特殊的邊雙連通圖的關系。設 \(b_i\) 為 \(i\) 個點的 有根 邊雙連通圖個數，\(d, D(x)\) 的定義同上。

那么對於一個有根連通圖，感覺邊雙的性質，根下面會掛上 一個 邊雙，邊雙上每一個點（包含根）都會 掛 上 若干 條邊，邊的另一端是一個有根連通圖。

根所在的邊雙中，每個點及其下面掛的一些連通圖，我們寫出它的式子：

\[x\exp D(x) \]

非常顯然。那么這個圖就是這些部分的組合：

\[\sum_{i\ge 1} b_i \frac{(x\exp D(x))^i}{i!} \]

設 \(B(x)=\sum_{i}\frac{b_i}{i!}x^i\)，即得：

\[D(x)=B(x\exp D(x)) \]

同樣可以拉反 \(O(n\log n)\) 求出一項。

細節剖析與對比

由於點雙和邊雙的性質存在差異，兩者推出的式子不同，推導細節上也存在出入。

下面是我學習是遇到的困惑以及可能正確的解答。

無根 與 有根

為什么點雙的 \(b\) 是無根的而邊雙是有根的？

首先明確一點，就是這個邊雙的有根才是自然的。而點雙的推導中我們由於根非常特殊，將其從“部分”中去除，實際上就將根區分開來了，自然地形成了一個有根連通圖，\(b_{i+1}\) 僅僅是一種點雙的連接方案。換言之，這幅同樣的連通圖可能以很多中方法被考慮多次，但孤立開來的總是不同的點，相當於有根。

邊雙沒有任何將根特殊考慮的體現，為了與有根的 \(D(x)\) 對應，定義就是有根的定義。

下掛 與 替換

這個可能是我結構沒理清的結果（

下掛和替換其實是非常自然的，因為點雙之間是通過點連接，邊雙之間是通過邊連接，所以考慮一個點附帶的點雙時自己也在里面，所以要把包括自己在內的整體替換，然而邊雙中一個點附帶的邊雙不包括自己，自然是在自己的基礎上額外考慮一些東西就行。

——Mr_Spade

可以發現點雙邊雙兩者在處理 分量上的點到有根連通圖 的方法是有差異的。

這和點雙邊雙本身的性質有關，而兩者的方法都不會破壞其結構性質，或者漏掉某種情況。

如果點雙是下掛，那一個三角形連通圖都算不到，而這顯然合法，漏數。

如果邊雙是替換，那整個包含根的邊雙則可能擴大（比如替換了一個三角形，這個三角形也應該是邊雙的一部分），也就是說真實的邊雙並不是 \(i\) 而是更大，在計算更大的邊雙時就會將這個圖算重。

后記

https://www.cnblogs.com/-Wallace-/p/nature-of-solutions.html